Satz des Thales

• In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich.[3]
• Die Innenwinkelsumme im Dreieck ist 180°.

Zerlegung des Dreiecks unter dem Halbkreis in zwei gleichschenklige Dreiecke. Die Winkel ${\displaystyle \gamma }$ und ${\displaystyle \delta }$ ergänzen sich zu 180°, die Winkel ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ also zu 90°

ABC sei ein Dreieck innerhalb eines Kreises mit ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ als Kreisdurchmesser und dem Radius ${\displaystyle r}$. Dann ist der Mittelpunkt M der Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ auch der Kreismittelpunkt. Die Streckenlängen ${\displaystyle {\overline {AM}}}$, ${\displaystyle {\overline {BM}}}$ und ${\displaystyle {\overline {CM}}}$ sind also gleich dem Radius ${\displaystyle r}$.

Die Strecke ${\displaystyle {\overline {CM}}}$ teilt das Dreieck ${\displaystyle ABC}$ in zwei Dreiecke ${\displaystyle AMC}$ und ${\displaystyle BCM}$ auf, die gleichschenklig sind. Die Basiswinkel dieser Dreiecke, also die Winkel an der Grundseite ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ bzw. ${\displaystyle {\overline {BC}}}$, sind daher jeweils gleich (${\displaystyle \alpha }$ beziehungsweise ${\displaystyle \beta }$ in der Abbildung).

Die Winkelsumme im Dreieck ${\displaystyle ABC}$ beträgt 180°:

${\displaystyle \alpha +\beta +\alpha +\beta =180^{\circ }}$

${\displaystyle 2\cdot (\alpha +\beta )=180^{\circ }}$

Dividiert man diese Gleichung auf beiden Seiten durch 2, so ergibt sich

${\displaystyle \alpha +\beta \,=\,90^{\circ }}$.

Damit ist gezeigt, dass der Winkel ${\displaystyle \alpha +\beta }$  mit Scheitel ${\displaystyle C}$ ein rechter Winkel ist.

Die Umkehrung des Satzes von Thales lässt sich auf die Aussage zurückführen, dass die Diagonalen eines Rechtecks gleich lang sind und sich gegenseitig halbieren.

Der Punkt ${\displaystyle D}$ entsteht durch Spiegelung vom Punkt ${\displaystyle C}$ am Durchmesser ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ und an der Mittelsenkrechten von ${\displaystyle {\overline {AB}}}$. Das Viereck ${\displaystyle ACBD}$ ist ein Rechteck.

Wird der Punkt ${\displaystyle C}$ am Durchmesser ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ und anschließend an der Mittelsenkrechten von ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ gespiegelt, dann liegt der Bildpunkt ${\displaystyle D}$ wegen Symmetrie auf dem unteren Halbkreis über der Seite ${\displaystyle {\overline {AB}}}$. Das ist eine Punktspiegelung am Kreismittelpunkt ${\displaystyle M}$. Daher sind die Seiten und ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ und ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ sowie ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ und ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ parallel und das Viereck ${\displaystyle ACBD}$ ist ein Parallelogramm. Weil die Diagonalen ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ und ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ Durchmesser des Kreises und daher gleich lang sind, ist das Parallelogramm ein Rechteck und der Winkel bei ${\displaystyle C}$ ein rechter Winkel.

Der Kreismittelpunkt sei der Koordinatenursprung. Sind der Radius ${\displaystyle r}$ und die Punkte ${\displaystyle A=(-r,0)}$, ${\displaystyle B=(r,0)}$ und ${\displaystyle C=(x,y)}$ mit kartesischen Koordinaten gegeben, dann gilt nach dem Satz des Pythagoras ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$. Wegen ${\displaystyle (r+x)^{2}+y^{2}={\overline {AC}}^{2}}$ und ${\displaystyle (r-x)^{2}+y^{2}={\overline {BC}}^{2}}$ gilt im Dreieck ${\displaystyle ABC}$ die Gleichung

${\displaystyle {\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}=((r+x)^{2}+y^{2})+((r-x)^{2}+y^{2})=2r^{2}+2(x^{2}+y^{2})=4r^{2}={\overline {AB}}^{2}}$.

Aus der Umkehrung des Satzes des Pythagoras folgt, dass das Dreieck ${\displaystyle ABC}$ im Punkt ${\displaystyle C}$ rechtwinklig ist.

Mit dem Satz des Pythagoras kann auch gezeigt werden, dass das Skalarprodukt der Vektoren ${\displaystyle {\vec {AC}}}$ und ${\displaystyle {\vec {CB}}}$ gleich Null ist:

Es ist ${\displaystyle {\vec {AC}}={\binom {x_{C}}{y_{C}}}\ominus {\binom {-r}{0}}={\binom {r+x_{C}}{y_{C}}}}$ und ${\displaystyle {\vec {CB}}={\binom {r}{0}}\ominus {\binom {x_{C}}{y_{C}}}={\binom {r-x_{C}}{-y_{C}}}}$.

${\displaystyle {\vec {AC}}\odot {\vec {CB}}=(r+x_{C})\cdot (r-x_{C})-{y_{C}}^{2}=r^{2}-{x_{C}}^{2}-{y_{C}}^{2}\ {\stackrel {\text{Satz des Pythagoras}}{=}}\ 0={\overline {AC}}\cdot {\overline {CB}}\cdot \cos(\measuredangle ACB)}$,

woraus folgt, dass der Kosinus des Winkels im Punkt C gleich Null ist und somit das Dreieck ABC einen rechten Winkel in C hat.

Sind der Winkel ${\displaystyle \beta }$, der Radius ${\displaystyle r}$ und die Punkte ${\displaystyle A=(-r,0)}$, ${\displaystyle B=(r,0)}$ mit kartesischen Koordinaten gegeben, dann hat der Punkt ${\displaystyle C}$ die Koordinaten ${\displaystyle C=(r\cdot \cos(\beta ),r\cdot \sin(\beta ))}$. Die Seite ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ hat die Steigung

${\displaystyle {\frac {r\cdot \sin(\beta )-0}{r\cdot \cos(\beta )-(-r)}}={\frac {\sin(\beta )}{\cos(\beta )+1}}}$

und die Seite ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ hat die Steigung

${\displaystyle {\frac {r\cdot \sin(\beta )-0}{r\cdot \cos(\beta )-r}}={\frac {\sin(\beta )}{\cos(\beta )-1}}}$.

Wegen ${\displaystyle \sin ^{2}(\beta )+\cos ^{2}(\beta )=1}$ ist das Produkt der Steigungen gleich

${\displaystyle {\frac {\sin(\beta )}{\cos(\beta )+1}}\cdot {\frac {\sin(\beta )}{\cos(\beta )-1}}={\frac {\sin ^{2}(\beta )}{\cos ^{2}(\beta )-1}}={\frac {\sin ^{2}(\beta )}{-\sin ^{2}(\beta )}}=-1}$.

Daraus folgt, dass die Seiten ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ und ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ zueinander orthogonal sind und einen rechten Winkel bilden.

Einen weiteren Beweis findet man hier: Wikibooks: Beweisarchiv.

Konstruktion der Kreistangenten

Konstruktionsskizze für Riemengetriebe

Eine wichtige Anwendung des Satzes von Thales ist u. a. die Konstruktion der beiden Tangenten an einen Kreis k durch einen außerhalb dieses Kreises gelegenen Punkt ${\displaystyle P}$.

Gegeben sei der Radius ${\displaystyle r}$ vom Kreis ${\displaystyle k}$ mit seinem Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ sowie der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ von ${\displaystyle O}$. Vom Punkt ${\displaystyle T}$ wissen wir nur, dass er auf der Kreislinie, irgendwo im ersten Viertel vom Kreis ${\displaystyle k}$, liegen muss. Würde man nur diese Bedingung berücksichtigen, könnte man unendlich viele Dreiecke ${\displaystyle OPT}$ einzeichnen.

Da die obere durch ${\displaystyle P}$ verlaufende Tangente ${\displaystyle t}$ den Kreis ${\displaystyle k}$ genau im Punkt ${\displaystyle T}$ berührt, muss das Dreieck ${\displaystyle OPT}$ einen rechten Winkel am Punkt ${\displaystyle T}$ haben (Grundeigenschaft der Kreistangente), oder anders formuliert: Die Strecke ${\displaystyle {\overline {OT}}}$ muss senkrecht auf der Tangente ${\displaystyle t}$ stehen.

Um ein Dreieck ${\displaystyle OPT}$ zu finden, das auch rechtwinklig ist, ermitteln wir von der Strecke ${\displaystyle {\overline {OP}}}$ den Mittelpunkt ${\displaystyle H}$ mithilfe der Mittelsenkrechten, zeichnen einen Kreis mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {HO}}}$ um den Mittelpunkt ${\displaystyle H}$ und machen uns das Prinzip des Thaleskreises zunutze: Alle Dreiecke mit der Grundseite ${\displaystyle {\overline {OP}}}$, deren dritter Eckpunkt auf dem Thaleskreis liegt, sind rechtwinklig. Dies gilt natürlich auch für das Dreieck ${\displaystyle OPT}$.

Der Berührpunkt ${\displaystyle T}$ kann deshalb nur der Schnittpunkt des Kreises ${\displaystyle k}$ mit dem hellgrauen Kreis sein. Durch Verbinden von ${\displaystyle P}$ mit ${\displaystyle T}$ erhält man nun die gesuchte Tangente ${\displaystyle t}$ (in der Zeichnung rot).

Es existiert eine zweite, symmetrische Lösung in der unteren Hälfte des Kreises. Die Tangente ${\displaystyle t'}$ (ebenfalls rot gezeichnet) berührt den Kreis ebenfalls, und zwar im Punkt ${\displaystyle T'}$.

Eine weitere Anwendung ist die Quadratur des Rechtecks.

Mithilfe des Satzes des Thales lassen sich die folgenden Quadratwurzeln konstruieren:[4]

• ${\displaystyle {\sqrt {q}}}$ aus ${\displaystyle q>0}$ und ${\displaystyle {\sqrt {c}}}$ aus ${\displaystyle c>1}$ (siehe Zahl größer als 1).
• ${\displaystyle {\sqrt {p\cdot q}}}$ aus ${\displaystyle c=1,\;{\sqrt {q}}}$ aus ${\displaystyle q<1}$ und ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ aus ${\displaystyle p<1}$ (siehe Zahl kleiner als 1).

Zahl größer als 1: Konstruktion von ${\displaystyle {\sqrt {q}}}$ und ${\displaystyle {\sqrt {c}}}$ mit Zirkel und Lineal

Soll die Quadratwurzel einer reellen Zahl, die größer als 1 ist, gefunden werden, ohne vorherige Aufteilung der Zahl in ${\displaystyle p}$- und ${\displaystyle q}$-Anteile, eignet sich dafür die Methode, die das nebenstehende Bild zeigt. Im Prinzip sind damit auch Quadratwurzeln von Zahlen, die kleiner als 1 sind, vorstellbar.

Es beginnt mit dem Einzeichnen der Strecke ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ mit Länge ${\displaystyle p=1}$ auf einer hier nicht näher bezeichneten Geraden. Ist die gegebene Zahl ${\displaystyle q}$ eine ganze Zahl, wird das Produkt ${\displaystyle q\cdot {\overline {BD}}}$ ab dem Punkt ${\displaystyle D}$ auf die Gerade abgetragen; d. h. ist z. B. die Zahl ${\displaystyle q=8}$, wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ achtmal abgetragen. Der dadurch entstehende Schnittpunkt ${\displaystyle A}$ bringt die Hypotenuse ${\displaystyle c=p+q}$ des entstehenden Dreiecks ${\displaystyle ABC}$.

Ist ${\displaystyle q}$ eine reelle Zahl, besteht u. a. auch die Möglichkeit, ${\displaystyle q}$ mithilfe des dritten Strahlensatzes zu konstruieren.

Es folgen die Senkrechte auf ${\displaystyle c}$ im Punkt ${\displaystyle D}$ und die Halbierung der Seite ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle M}$. Abschließend wird der Thaleskreis um ${\displaystyle M}$ gezogen.

• Nach dem Höhensatz des Euklid gilt ${\displaystyle h^{2}=p\cdot q}$, daraus folgt ${\displaystyle h^{2}=1\cdot q}$,

somit ist die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ gleich der Quadratwurzel aus ${\displaystyle q}$.

• Nach dem Kathetensatz des Euklid gilt ${\displaystyle a^{2}=p\cdot c,}$ daraus folgt ${\displaystyle a^{2}=1\cdot c,}$

somit ist die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des rechtwinkligen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ gleich der Quadratwurzel aus ${\displaystyle c}$.

Zahl kleiner als 1: Konstruktion von ${\displaystyle {\sqrt {p\cdot q}},\;{\sqrt {q}}}$ und ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ mit Zirkel und Lineal

Ist die Quadratwurzel einer Zahl, die kleiner als ${\displaystyle 1}$ ist, gesucht, eignet sich dafür die Methode, die das nebenstehende Bild zeigt.

Es beginnt ab dem Punkt ${\displaystyle A}$ (Wert ${\displaystyle 0}$) mit einer Halbgeraden. Darauf wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ mit Länge ${\displaystyle 1}$ und die Strecke ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ mit Länge ${\displaystyle 0{,}1}$ bestimmt. Dabei ergibt sich die Hypotenuse ${\displaystyle c}$ des entstehenden Dreiecks ${\displaystyle ABC.}$ Hat die gegebene Dezimalzahl ${\displaystyle q}$ nur eine Nachkommastelle, wird das Produkt ${\displaystyle q\cdot {\overline {AE}}}$ ab dem Punkt ${\displaystyle A}$ abgetragen; d. h. ist z. B. ${\displaystyle q=0{,}8}$ wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ achtmal abgetragen. Der dadurch entstehende Schnittpunkt ${\displaystyle D}$ bringt ${\displaystyle c=p+q.}$

Wenn die gegebene Dezimalzahl ${\displaystyle q}$ mehr als eine Nachkommastelle hat, z. B. ${\displaystyle q=0{,}86}$, besteht u. a. die Möglichkeit, wie bereits oben im Abschnitt Zahl größer als 1 darauf hingewiesen, ${\displaystyle q}$ mithilfe des dritten Strahlensatzes zu konstruieren.

Es folgen die Senkrechte auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ im Punkt ${\displaystyle D}$ und die Halbierung der Seite ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle M.}$ Abschließend wird der Thaleskreis (Radius ${\displaystyle =0{,}5}$) um ${\displaystyle M}$ gezogen.

• Nach dem Höhensatz des Euklid gilt ${\displaystyle h^{2}=p\cdot q,}$

somit ist die Höhe ${\displaystyle h}$ des rechtwinkligen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ gleich der Quadratwurzel aus ${\displaystyle p\cdot q}$.

Wegen ${\displaystyle h={\sqrt {p\cdot q}}}$ gilt auch:

Im rechtwinkligen Dreieck ${\displaystyle ABC}$ ist die Länge ${\displaystyle h}$ das geometrische Mittel der Längen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$.

• Nach dem Satz des Pythagoras gilt für die Seitenlänge ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle b^{2}=q^{2}+p\cdot q}$, darin ist ${\displaystyle p=1-q}$, damit ergibt sich

${\displaystyle b^{2}=q^{2}+q\cdot \left(1-q\right)}$

${\displaystyle b^{2}=q^{2}+q-q^{2}\Rightarrow }$

${\displaystyle b={\sqrt {q}},}$

somit ist die Seitenlänge ${\displaystyle b}$ des rechtwinkligen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ gleich der Quadratwurzel aus ${\displaystyle q}$.

Für die Seitenlänge ${\displaystyle a:}$

Mit den entsprechenden Werten für die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ ergibt sich

${\displaystyle a={\sqrt {p}},}$

somit ist die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des rechtwinkligen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ gleich der Quadratwurzel aus ${\displaystyle p.}$