Ternärsystem und ternäre Multiplikation

Die ternäre Multiplikation ist eine Multiplikation im Ternärsystem.

Ternäre Arithmetik findet Anwendung bei frühen Computersystemen wie dem Setun, aber auch bei einigen mathematischen Fragestellungen.

Arithmetik im gewöhnlichen Ternärsystem

Die Grundrechenarten der Addition und Multiplikation basieren auf den Regeln für einstellige ternäre Ziffern.

„+“012
0012
11210
221011
„*“012
0000
1012
20211

und damit die Addition mit Übertrag analog

    2 0 1 0
„+“   2 2 1 0
Übertrag1        
 1 1 2 2 0

und die Multiplikation mit Übertrag ebenso

   2 0 1 0 × 2 2 1 0 =
1 0 0 2 0
   1 0 0 2 0
         2 0 1 0
            0 0 0 0
1 2 2 1 2 1 0 0

Ternäre Multiplikation

Auch für das balancierte Ternärsystem bestehen spezielle Additions- und Multiplikationsregeln.(5)

Analog zur russischen Bauernmultiplikation (indirekte Nutzung des binären Zahlensystems) existiert auch ein Verfahren für das ternäre Zahlensystem, welches mit Additionen, Subtraktionen und Streichungen eine Multiplikation auszuführen vermag.

Verfahren (Multiplikation unter indirekter Nutzung des Dreierzahlensystems)
  • Den linken Faktor des Produkts dritteln, den rechten verdreifachen. Hier reichen auch ungefähre Werte (z. B. 23 gedrittelt sind 8)
  • Das Ergebnis bildet eine neue Zeile
  • Eine Zeile mit einer Zahl kleiner als 0,5 in der linken Spalte wird gestrichen und führt zum Abbruch des Drittelns bzw. des Verdreifachens.
  • Ist der linke Faktor der Zeile ohne Rest durch drei teilbar, wird die Zeile gestrichen
  • Ist der Rest bei der Division des linken Faktors durch drei gleich 1 wird im Folgenden der rechte Faktor addiert
  • Ist der Rest bei der Division des linken Faktors durch drei gleich 2 wird im Folgenden der rechte Faktor subtrahiert
  • Der letzte Wert des rechten Faktors gilt als Ausgangspunkt. Von diesem werden je nach den o. g. Regeln die anderen Werte entweder addiert, abgezogen oder ignoriert.


Bsp.:    

23    *     7            ( 7 subtrahieren ( n * 3 + 2 ) )         

8                  21            ( 21 subtrahieren ( n * 3 + 2 ) )

3                  63            (diese Zeile streichen (n * 3) )

1                189          (Anfangswert für Schlussrechnung)

________________

               ==>        189 – 21 -7 = 161


Bsp.:    

12    *     11           (diese Zeile streichen (n * 3) )

4                    33          ( 33 addieren  ( n * 3 + 1 ) )

1                 99           (Anfangswert für Schlussrechnung)

________________

               ==>        99 + 33 = 132


Beispiel

Das Produkt aus 27 und 82 wird folgendermaßen errechnet:

Multiplikator        Multiplikand        zu addieren           Multiplikator ternär             Multiplikand ternär    zu addieren

27                           82                              ---                       1000                                      10001                                  ---

9                            246                             ---                       100                                      100010                                  ---

3                            738                             ---                       10                                       1000100                ---

1                            2214                       2214                       1                                       10001000                       10001000


Produkt:                                                2214                                      Produkt ternär:                                         10001000


Erklärung

Die ternäre Multiplikation kann durch Zerlegung des Multiplikators in Dreierpotenzen nachvollzogen werden:


82           *             27           =             82 * ( 0 * 3^0 + 0 * 3^1 + 0 * 3^2 + 3^3 )

                                              =            82 * 0 + 82 * 0 + 82 * 0 + 82 * 3^3

                                              =            0 + 0 + 0 + 2214

                                              =                             2214

Die Summanden, die den Faktor Null enthalten, entsprechen den Zeilen, die gestrichen werden.

In der ternären Repräsentation erkennt man eine Zahl, die ein Vielfaches von drei ist, an der 0 an der rechten Stelle in der ternären Schreibweise (3er-System) – der niederwertigsten Einheit im Dreiersystem, dem Trit.

Ein Induktionsbeweis könnte die Korrektheit des Verfahrens der ternären Multiplikation nachweisen.

Weiterhin existieren auch die grundlegenden Rechenoperationen im gewöhnlichen Ternärsystem, welche hier jeweils anhand eines Beispiels dargestellt werden:

Addition im Dreiersystem: (3)

42 + 17 = 59                (Zehnersystem)

1120                      (Dreiersystem)

+    122

     ____

     2012                      Die Zahl 2012(3) entspricht im Zehnersystem der Zahl 59.


Subtraktion im Dreiersystem:

42 – 17 = 25                          (Zehnersystem)

          1120                    (Dreiersystem)

       -   122

        ____

            221                           Die Zahl 221(3) entspricht im Zehnersystem der Zahl 25.

Multiplikation im Dreiersystem: (3)

17 * 25 = 425                        (Zehnersystem)

               122 * 221             (Dreiersystem)

               ________

                   102100

                     10210

                         122

               ________

                   120202             Die Zahl 120202(3) entspricht im Zehnersystem der Zahl 425.


Division im Dreiersystem:

99 : 9 = 11                                          (Zehnersystem)

               10200 : 100 = 102              (Dreiersystem)

               100

               ____

                   20

                     0

                   ____

                     200

                     200

                     ____

                          0                                Die Zahl 102(3) entspricht im Zehnersystem der Zahl 11.


Ternäres Potenzieren

Verfahren: (Potenzieren unter indirekter Nutzung des Dreierzahlensystems)

  • Exponent dritteln (gerundete Werte genügen), Basis mit 3 potenzieren, also hoch drei nehmen.
  • Eine Zeile mit einem gerundeten Exponenten 1 führt zum Abbruch des Drittelns.
  • Eine Zeile mit einer Basis, welche ein Vielfaches von drei (gerundet) ist, wird herausgestrichen.

(Die Teilbarkeit einer Zahl durch 3 lässt sich leicht mit der Quersumme der zu untersuchenden Zahl überprüfen. Bsp.: 246 ==> 2 + 4 + 6 = 12; 12 ist durch 3 teilbar, also ist auch 246 durch 3 teilbar)

  • ;Die verbliebenen Basen werden nach einem bestimmten Muster (Rechenzeichen ist abhängig von dem gerundeten Wert des Exponenten) miteinander multipliziert bzw. dividiert.
  • / *  :  /  *  :  / *  :  /  *   :    /   *   :     /   *   :     /   *  :     /   *    : …
  • 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 …
  • ,Es folgt hieraus das Ergebnis der Potenzaufgabe.

Beispiel 1:               3^4      (die Rechnung ergibt 81, was hier gezeigt werden soll)

                              27^1      (Abbruch des ternären Verfahrens, den Exponenten zu dritteln)

              27 * 3  = 81

Beispiel 2:                 2^10 (die Rechnung ergibt 1024, was hier gezeigt werden soll)

                  8^3    (gerundeter Exponent ist ein Vielfaches von 3, deshalb diese Zeile für Schlussrechnung streichen)

                              512^1    (Abbruch des ternären Verfahrens, den Exponenten zu dritteln)

              512 * 2 = 1024

Beispiel 3:                 3^8    (die Rechnung ergibt 6561, was hier gezeigt werden soll)

                                27^3    (gerundeter Exponent ist ein Vielfaches von 3, daher wird Zeile gestrichen)

                         19683^1    (Abbruch des ternären Verfahrens, den Exponenten zu dritteln)

             19683 : 3 = 6561

Anmerkungen

Ein Trit repräsentiert eine ternäre Ziffer analog zum Bit, welches nur zwei Ziffern darstellen kann. Eine Sechsergruppe von Trits wird als Tryte bezeichnet. Ein Tryte kann mit seinen sechs Trits des gewöhnlichen Ternärsystems Zahlen von 0 bis 728 des Dezimalsystems repräsentieren und somit genau 729 unterschiedliche Werte annehmen. Im balancierten Ternärsystem kann ein Tryte die Zahlen von -364 bis +364 repräsentieren, was ebenfalls genau 729 unterschiedlichen Werten entspricht.[1][2]

Anwendung fand das ternäre Zahlensystem bei dem sowjetischen Computer Setun (entwickelt in den Jahren 1956 – 1958 durch ein Team um den sowjetischen Funkingenieur Nikolai Brussenzow und basierend auf dem Prinzip balancierter ternärer Logik (-1; 0; 1) ), welcher mit Trits rechnete, sowie bei dessen Nachfolgermodell Setun70.

Die Forschung zu Ternär-Bauelementen wurde in den beginnenden 1970ern aus Kostengründen eingestellt, weil binäre Computersysteme leistungsstärker und günstiger wurden. Nichtsdestoweniger blieb die Suche nach Bauelementen mit mehreren stabilen Zuständen auch danach noch interessant wie etwa in der Optik, wo die Suche nach geeigneten optischen Speichermedien vorangetrieben wurde.

Ternär-Bauelemente sind beispielsweise Ferritmagnete in den Kernspeichern der ersten Computer, da die Ferritmagnete Hystereseschleifen mit drei möglichen stabilen Zuständen aufweisen (weichmagnetische Nickel-Eisen-Legierungen mit nord-, süd- und neutral stabilen magnetischen Zuständen).[2]

Literatur
  • Nikolay Petrovich Brusentsov, José Ramil Alvarez: Ternary Computers: The Setun and the Setun 70. In: J. Impagliazzo, E. Proydakov (Hrsg.): SoRuCom 2006, IFIP AICT 357. IFIP International Federation for Information Processing 2011, S. 74 ff.[3]
  • Maurer, Christoph: tertium datur - Zur ternären Logik und deren Implementierung in dem Rechner SETUN (Hausarbeit z. Modul 6: Medientheorien), S. 18
  • Andreas de Vries: Das Ternärsystem, Skript der FH Südwestfalen University of Applied Sciences, Hagen, überarbeitete Auflage von 2013, S. 7[4]
  • Andreas de Vries: Das Ternärsystem, Skript der FH Südwestfalen University of Applied Sciences, Hagen, überarbeitete Auflage von 2013, S. 12[4]
  • Andreas de Vries: Das Ternärsystem, Skript der FH Südwestfalen University of Applied Sciences, Hagen, überarbeitete Auflage von 2013, S. 11/12[4]
  • Andreas de Vries: Das Ternärsystem, Skript der FH Südwestfalen University of Applied Sciences, Hagen, überarbeitete Auflage von 2013, S. 15[4]

Einzelnachweise
  1. Robert Czepel: Nach dem Bit kommt das Trit. In: ORF.at. 16. August 2019, archiviert vom Original am 7. November 2020; abgerufen am 30. Oktober 2023.
  2. Martin Gardner: Mathematisches Labyrinth. 8. März 2013, archiviert vom Original am 30. Oktober 2023; abgerufen am 30. Oktober 2023.
  3. John Impagliazzo, Eduard Proydakov: Perspectives on Soviet and Russian Computing. First IFIP WG 9.7 Conference, SoRuCom 2006. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-27082-6, S. 74 ff. (englisch, 274 S.).
  4. Andreas de Vries: Das Ternärsystem. FH Südwestfalen University of Applied Sciences, 4. September 2006, archiviert vom Original am 11. Januar 2014; abgerufen am 30. Oktober 2023.
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