Tensoralgebra

Es sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$ oder allgemeiner ein Modul über einem kommutativen Ring mit Einselement. Wir definieren die Tensorprodukteräume

${\displaystyle V^{\otimes n}:=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n{\text{-mal}}}}$

für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit der Konvention ${\displaystyle V^{\otimes 0}:=K}$.

Dann ist die Tensoralgebra (als Vektorraum) definiert durch die direkte Summe aller Tensorprodukte des Raums mit sich selbst.

${\displaystyle \mathrm {T} (V):=\bigoplus _{n\geq 0}V^{\otimes n}=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \ldots }$

Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, wird ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ zu einer ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$-graduierten, unitären, assoziativen Algebra.

Die Tensoralgebra erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Ist ${\displaystyle A}$ eine assoziative ${\displaystyle K}$-Algebra mit einem Einselement ${\displaystyle e}$, sowie ${\displaystyle f\colon V\to A}$ eine lineare Abbildung, so existiert genau ein Algebrenhomomorphismus ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon \mathrm {T} (V)\to A}$, sodass das Diagramm

Universelle Eigenschaft der Tensoralgebra

kommutiert. Dieser Algebrenhomomorphismus ist gegeben durch ${\displaystyle {\tilde {f}}(v_{1}\otimes \dots \otimes v_{r})=f(v_{1})\dots f(v_{r})}$ sowie ${\displaystyle {\tilde {f}}(\lambda )=\lambda e}$.

${\displaystyle \mathrm {T} }$ ist ein Funktor von der Kategorie der ${\displaystyle K}$-Vektorräume in die Kategorie der ${\displaystyle K}$-Algebren. Für einen ${\displaystyle K}$-Vektorraumhomomorphismus (eine lineare Abbildung) ${\displaystyle \varphi \colon V\to W}$ ist ${\displaystyle \mathrm {T} (\varphi ):\mathrm {T} (V)\to \mathrm {T} (W)}$ durch den Algebrenhomomorphismus gegeben, der nach der universellen Eigenschaft der Tensoralgebra durch ${\displaystyle i_{W}\circ \varphi :V\to \mathrm {T} (W)}$ induziert wird (hierbei ist ${\displaystyle i_{W}:W\to \mathrm {T} (W)}$ die Einbettung).

Der Funktor ${\displaystyle \mathrm {T} }$ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor, der einer ${\displaystyle K}$-Algebra, den zugrundeliegenden ${\displaystyle K}$-Vektorraum zuordnet. Daher wird ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ auch als die freie Algebra über ${\displaystyle V}$ bezeichnet.

Ist ${\displaystyle V}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler ${\displaystyle K}$-Vektorraum (bzw. ein freier Modul vom Rang ${\displaystyle n}$), so ist ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ isomorph zur freien assoziativen Algebra über ${\displaystyle K}$ in ${\displaystyle n}$ Unbestimmten. Im Fall ${\displaystyle n=1}$ ist ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ also isomorph zum Polynomring ${\displaystyle K[X]}$.

Ist allgemeiner ${\displaystyle X}$ eine beliebige nicht-leere Menge und ist ${\displaystyle V_{X}}$ der über ${\displaystyle X}$ erzeugte ${\displaystyle K}$-Vektorraum, das heißt der freie K-Modul über ${\displaystyle X}$, so ist ${\displaystyle \mathrm {T} (V_{X})}$ die frei über ${\displaystyle X}$ erzeugte assoziative Algebra.

Durch Herausteilen eines bestimmten Ideals kann man aus der Tensoralgebra beispielsweise die symmetrische Algebra, die äußere Algebra oder die Clifford-Algebra gewinnen. Diese Algebren sind in der Differentialgeometrie von Bedeutung.

• Formelsammlung Tensoralgebra