Telegraphengleichung

Die Telegraphengleichung ist eine partielle Differentialgleichung (bei ${\displaystyle a>0}$ hyperbolisch, bei ${\displaystyle a<0}$ elliptisch und bei ${\displaystyle a=0}$ parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form:

${\displaystyle \Delta {\vec {F}}=a\cdot {\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}}{\partial t^{2}}}+b\cdot {\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial t}}+c\cdot {\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial x}}+d\cdot {\vec {F}}}$.

Dabei ist ${\displaystyle \Delta {\vec {F}}}$ der Laplace-Operator, in einer Orts-Dimension also ${\displaystyle \Delta {\vec {F}}={\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}}{\partial x^{2}}}}$. Die Ableitung nach ${\displaystyle x}$ steht hier stellvertretend für die Ableitung nach Ortskoordinaten. Statt eines Vektors kann auch ein Skalar ${\displaystyle F}$ stehen.

In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differentialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält (Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Helmholtz-Gleichung, Potentialgleichung).

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:

${\displaystyle \Delta {\vec {F}}=a{\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}}{\partial t^{2}}}+b{\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial t}}}$

Der Vorfaktor ${\displaystyle a}$ hat die Dimension eines inversen Geschwindigkeitsquadrats.

Zum Beispiel kann man mit den Materialgleichungen der Elektrodynamik die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu

${\displaystyle \Delta {\vec {E}}={\frac {\mu \varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}+\sigma \mu _{0}\mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}$

und

${\displaystyle \Delta {\vec {H}}={\frac {\mu \varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}+\sigma \mu _{0}\mu {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}}$.

wobei ${\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\mu _{0}\,\varepsilon _{0}}}}$ (c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) benutzt wurde.

Das sind Wellengleichungen für ein verlustbehaftetes Dielektrikum. Im Fall eines Isolators ist ${\displaystyle \sigma =0}$ und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung.

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ der Wellengleichung:

${\displaystyle \Delta F=a{\frac {\partial ^{2}F}{\partial t^{2}}}}$

Insbesondere erhält man die ursprünglich von Oliver Heaviside eingeführten Telegraphengleichungen für die Spannung ${\displaystyle U}$ und dem Strom ${\displaystyle I}$ in einer Doppelleitung mit Induktivität ${\displaystyle L}$ und Kapazität ${\displaystyle C}$ (Auf die Länge bezogen und im Allgemeinen ortsabhängig):

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}=L\,C{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}}$

bzw.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}=L\,C{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}}$

wobei Leitungsverluste vernachlässigt wurden. Da ${\displaystyle a=L\,C}$ breitet sich die Welle mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(L\,C)}}}}$ aus.

Ein weiteres Beispiel sind die oben angegebenen Wellengleichungen des elektromagnetischen Feldes im Fall keiner Verluste (${\displaystyle \sigma =0}$ wie im freien Raum).

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren. 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.

• Telegraphengleichung, Lexikon der Physik, Spektrum Verlag