Untermatrix

Ist ${\displaystyle A=(a_{ij})\in K^{m\times n}}$ eine Matrix über dem Körper ${\displaystyle K}$, dann ist eine Untermatrix ${\displaystyle A_{IJ}}$ von ${\displaystyle A}$ eine Matrix, die dadurch entsteht, dass die Zeilen der Indexmenge ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,m\}}$ und die Spalten der Indexmenge ${\displaystyle J\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ aus ${\displaystyle A}$ gestrichen werden, das heißt:

${\displaystyle A_{IJ}=(a_{ij})_{i\in \{1,\ldots ,m\}\setminus I,j\in \{1,\ldots ,n\}\setminus J}}$

Die Untermatrix ${\displaystyle A_{IJ}}$ besitzt dann ${\displaystyle m-|I|}$ Zeilen und ${\displaystyle n-|J|}$ Spalten. Im Fall einelementiger Indexmengen schreibt man auch kurz ${\displaystyle A_{ij}}$ statt ${\displaystyle A_{\{i\}\{j\}}}$. Falls ${\displaystyle m=n}$ und ${\displaystyle I=J}$ sind, wird eine Untermatrix

${\displaystyle A_{I}=A_{II}}$   bzw.   ${\displaystyle A_{i}=A_{ii}}$

auch als Hauptuntermatrix bezeichnet. Gelegentlich wird eine Untermatrix auch dadurch notiert, dass die Zeilen und Spalten, aus denen sie besteht, als Indizes angegeben werden. Man schreibt dann:[2]

${\displaystyle A_{IJ}=(a_{ij})_{i\in I,j\in J}}$

Im Folgenden wird jedoch erstere Notationsvariante verwendet. Untermatrizen, die aus aufeinanderfolgenden Zeilen- und Spaltenindizes aufgebaut sind, bilden einen Block einer Matrix.

Gegeben sei die reelle Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3\times 4}}$,

dann ist die Untermatrix

${\displaystyle A_{23}=A_{\{2\}\{3\}}={\begin{pmatrix}1&2&4\\9&10&12\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 3}}$

diejenige Matrix, die durch Streichung der zweiten Zeile und der dritten Spalte entsteht.

Jede Matrix ${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$ mit Rang ${\displaystyle r}$ besitzt eine quadratische Untermatrix ${\displaystyle A_{IJ}\in K^{r\times r}}$, sodass

${\displaystyle \operatorname {rang} (A_{IJ})=\operatorname {rang} (A)}$

gilt und ihre Determinante

${\displaystyle \operatorname {det} (A_{IJ})\neq 0}$

ist.[3] Eine solche Untermatrix kann beispielsweise mit Hilfe des gaußschen Eliminationsverfahrens gefunden werden. Die Determinante einer quadratischen Untermatrix wird auch als Minor oder Unterdeterminante bezeichnet. Die Determinante einer Hauptuntermatrix heißt entsprechend Hauptminor. Die Determinanten der Untermatrizen ${\displaystyle A_{ij}}$ einer quadratischen Matrix ${\displaystyle A}$ werden mit alternierenden Vorzeichen versehen Kofaktoren

${\displaystyle {\tilde {a}}_{ij}=(-1)^{i+j}\operatorname {det} (A_{ij})}$

der Matrix genannt. Mit Hilfe der Kofaktormatrix ${\displaystyle {\tilde {A}}=({\tilde {a}}_{ij})}$ kann die Inverse der Matrix ${\displaystyle A}$ explizit angegeben werden. Untermatrizen spielen auch eine wichtige Rolle im laplaceschen Entwicklungssatz der Determinante einer Matrix und im Satz von Binet-Cauchy zur Bestimmung der Determinante des Produkts zweier Matrizen.

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-29884-3.
• Christoph W. Überhuber: Computer-Numerik 2. Springer, 1995, ISBN 3-642-57794-6.

1. Christian Karpfinger: Höhere Mathematik in Rezepten. Springer Verlag, Berlin 2014, ISBN 978-3-642-37865-2, S. 95.
2. Christoph Überhuber: Computer-Numerik 2. S. 212.
3. Bosch: Lineare Algebra. S. 146.

• T. S. Pigolkina: Submatrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
• Eric W. Weisstein: Submatrix. In: MathWorld (englisch).
• Mathprof: Submatrix notation. In: PlanetMath. (englisch)