Teileranzahlfunktion

Die Teileranzahlfunktion gibt an, wie viele positive Teiler eine natürliche Zahl hat; dabei werden die Eins und die Zahl selbst mitgezählt. Die Teileranzahlfunktion gehört zum mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie wird meist mit oder bezeichnet – da sie einen Spezialfall der Teilerfunktion darstellt, auch als .

… Anzahl der Teiler von .
… kleinstes mit Teilern.
Faktorisierung
von
111
222
3422
462 · 3
51624
61222 · 3
76426
82423 · 3
93622 · 32
104824 · 3
111.024210
126022 · 3 · 5
134.096212
1419226 · 3
1514424 · 32
1612023 · 3 · 5
1765.536216
1818022 · 32 · 5
19262.144218
2024024 · 3 · 5
2157626 · 32
223.072210 · 3
234.194.304222
2436023 · 32 · 5
251.29624 · 34
2612.288212 · 3
2790022 · 32 · 52
2896026 · 3 · 5
29268.435.456228
3072024 · 32 · 5
311.073.741.824230
3284023 · 3 · 5 · 7
339.216210 · 32
34196.608216 · 3
355.18426 · 34
361.26022 · 32 · 5 · 7
Teileranzahlfunktion d(n) für natürliche Zahlen 0<n<24

Definition

Für jede natürliche Zahl wird die Teileranzahlfunktion definiert als

,

wobei die Mächtigkeit der Menge ist.

Die ersten Werte sind:[1]

123456789101112
Teiler von 1 1, 2 1, 3 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1, 2, 5, 10 1, 11 1, 2, 3, 4, 6, 12
1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6

Eigenschaften

so gilt:[2]
  • Für teilerfremde Zahlen und gilt:
Die Teileranzahlfunktion ist also eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
  • Eine Zahl ist genau dann eine Primzahl, wenn gilt.
  • Eine Zahl ist genau dann eine Quadratzahl, wenn ungerade ist.
  • Die zur Teileranzahlfunktion gehörige Dirichlet-Reihe ist das Quadrat der riemannschen Zetafunktion:[3]
(für ).

Asymptotik

Im Mittel ist , präziser gilt: [4]

Dabei sind „“ ein Landau-Symbol und die Euler-Mascheroni-Konstante.

Als Heuristik kann die Erkenntnis dienen, dass eine Zahl ein Teiler von etwa Zahlen ist, damit wird die Summe auf der linken Seite in etwa zu

(Zum letzten Schritt siehe harmonische Reihe.)

Der Wert für den Fehlerterm wurde bereits von P. G. L. Dirichlet bewiesen;[5] die Suche nach besseren Werten ist deshalb auch als dirichletsches Teilerproblem bekannt.

Bessere Werte wurden von G. F. Woronoi (1903, ),[6] J. van der Corput (1922, )[7] sowie M. N. Huxley ()[8] angegeben. Auf der anderen Seite zeigten G. H. Hardy und E. Landau, dass gelten muss.[9] Die möglichen Werte für sind immer noch Forschungsgegenstand.

Verallgemeinerungen

Die Teilerfunktion ordnet jeder Zahl die Summe der -ten Potenzen ihrer Teiler zu:[10]

Die Teilersumme ist der Spezialfall der Teilerfunktion für , und die Teileranzahlfunktion ist der Spezialfall der Teilerfunktion für :

Siehe auch

Literatur

  • G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.

Quellen

  1. Weitere Anfangswerte siehe auch Folge A000005 in OEIS.
  2. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 273, S. 239.
  3. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 289, S. 250.
  4. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 320, S. 264.
  5. P. G. L. Dirichlet: Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie. In: Abhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. 1849, S. 69–83; oder Werke, Band II, S. 49–66.
  6. G. Voronoï: Sur un problème du calcul des fonctions asymptotiques. In: J. Reine Angew. Math. 126 (1903) S. 241–282.
  7. J. G. van der Corput: Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem. In: Math. Ann. 87 (1922) 39–65. Berichtigungen 89 (1923) S. 160.
  8. M. N. Huxley: Exponential Sums and Lattice Points III. In: Proc. London Math. Soc. Band 87, Nr. 3, 2003, S. 591–609.
  9. G. H. Hardy: On Dirichlet’s divisor problem. In: Lond. M. S. Proc. (2) 15 (1915) 1–25.
    Vgl. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, S. 272.
  10. Eric W. Weisstein: Divisor Function. In: MathWorld (englisch).
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