Tarski-Endlichkeit

Aus Endlichkeit im üblichen Sinne folgt Tarski-Endlichkeit

Nimmt man eine im üblichen Sinne endliche Menge ${\displaystyle M}$ und dazu ein ${\displaystyle \emptyset \neq {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$, so lässt sich die nicht leere Menge der aus diesem Teilmengensystem gebildeten endlichen Anzahlen ${\displaystyle \{|T|\mid T\in {\mathcal {T}}\}\subseteq \mathbb {N} }$ bilden. Da ${\displaystyle \mathbb {N} }$ wohlgeordnet ist, gibt es darin eine kleinste Anzahl ${\displaystyle n}$, etwa ${\displaystyle n=|T_{0}|}$ für ein gewisses ${\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {T}}}$. Dieses ${\displaystyle T_{0}}$ ist dann sicher auch minimal bezüglich der Teilmengenrelation auf ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

Aus Tarski-Endlichkeit folgt Endlichkeit im üblichen Sinne

Ist dagegen ${\displaystyle M}$ eine Menge, welche nicht endlich im üblichen Sinne ist, so lässt sich dazu das Teilmengensystem ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ aller ${\displaystyle T\subseteq M}$ bilden, welche diese Eigenschaft haben, also nicht endlich im üblichen Sinne sind. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ist nicht leer, denn es gilt in jedem Falle ${\displaystyle M\in {\mathcal {T}}}$.

Zudem lässt sich jedes ${\displaystyle T\in {\mathcal {T}}}$ um mindestens ein Element reduzieren, denn ein solches ${\displaystyle T\in {\mathcal {T}}}$ ist nicht die leere Menge, enthält somit mindestens ein ${\displaystyle t\in T}$. Bei Wegnahme dieses Elements ${\displaystyle t}$ ist die Restmenge ${\displaystyle T\setminus \{t\}}$ immer noch eine im üblichen Sinne nicht endliche Menge; denn wäre die Restmenge im üblichen Sinne endlich, so wäre dies auch ${\displaystyle T}$ selbst, da ${\displaystyle T}$ durch Hinzunahme des Elements ${\displaystyle t}$ aus der Restmenge bildbar ist. Folglich kann kein ${\displaystyle T\in {\mathcal {T}}}$ bezüglich der Teilmengenrelation auf ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ minimal sein.