Tangentialraum

Gegeben seien eine ${\displaystyle n}$-dimensionale ${\displaystyle C^{k}}$-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle k\geq 1}$, ein Punkt ${\displaystyle p}$ aus ${\displaystyle M}$, eine offene Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle p}$ und eine Karte ${\displaystyle \varphi \colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$.

Ist ${\displaystyle \gamma \colon (-1,1)\to M}$ mit ${\displaystyle \gamma (0)=p}$ eine differenzierbare Kurve in ${\displaystyle M}$, so ist ${\displaystyle \varphi \circ \gamma \colon (-1,1)\to \mathbb {R} ^{n}}$ eine differenzierbare Kurve im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Die Ableitung ${\displaystyle (\varphi \circ \gamma )'(0)}$ existiert also. Diese Ableitung ist ein Vektor im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Kurven ${\displaystyle \gamma _{i}}$, für die ${\displaystyle (\varphi \circ \gamma _{i})'(0)}$ übereinstimmt, bilden eine Äquivalenzklasse. Eine solche Äquivalenzklasse nennt man einen Tangentialvektor von ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle p}$ und schreibt dafür ${\displaystyle \gamma '(0)}$. Der Tangentialraum ${\displaystyle T_{p}M}$ ist die Menge aller dieser Tangentialvektoren; man kann zeigen, dass er nicht von der Wahl der Karte ${\displaystyle \varphi }$ abhängt.

Es bleibt zu zeigen, dass ${\displaystyle T_{p}M}$ durch Erklärung von Vektoraddition und Skalarmultiplikation zu einem Vektorraum wird. Dazu definiert man die Abbildung ${\displaystyle (\mathrm {d} \varphi )|_{p}\colon T_{p}M\to \mathbb {R} ^{n}}$ durch ${\displaystyle \mathrm {d} \varphi |_{p}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0)}$, wobei die Funktion ${\displaystyle \gamma }$ auf der rechten Seite ein beliebiger Repräsentant der Äquivalenzklasse ${\displaystyle \gamma '(0)}$ ist. Man zeigt nun, dass diese Abbildung bijektiv ist und überträgt mit ihrer Hilfe die Vektorraumoperationen von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ nach ${\displaystyle T_{p}M}$; man zeigt außerdem, dass diese Konstruktion von der Wahl der Karte ${\displaystyle \varphi }$ unabhängig ist.

Sei ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle C^{\infty }}$-Mannigfaltigkeit. Eine Funktion ${\displaystyle g\colon M\to \mathbb {R} }$ gehört zur Klasse ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$, falls ${\displaystyle g\circ \varphi ^{-1}}$ für jede Karte ${\displaystyle \varphi \colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$ unendlich oft differenzierbar ist. Das so definierte ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ist eine assoziative Algebra.

Fixieren wir einen Punkt ${\displaystyle p}$ in ${\displaystyle M}$. Eine Derivation an ${\displaystyle p}$ ist eine lineare Abbildung ${\displaystyle D\colon C^{\infty }(M)\to \mathbb {R} }$, die für alle ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ in ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ die (analog zur Produktregel) folgende Eigenschaft hat: ${\displaystyle D(gh)=D(g)h(p)+g(p)D(h)}$. Diese Derivationen bilden auf natürliche Weise einen reellen Vektorraum; dies ist der Tangentialraum ${\displaystyle T_{p}M}$.

Die Beziehung zwischen den zuvor definierten Tangentialvektoren und den Derivationen ist wie folgt: falls ${\displaystyle \gamma }$ eine Kurve mit Tangentialvektor ${\displaystyle \gamma '(0)}$ ist, dann ist die entsprechende Derivation ${\displaystyle D(g)=(g\circ \gamma )'(0)}$ (mit der Ableitung im üblichen Sinne, da ${\displaystyle g\circ \gamma }$ eine Funktion von ${\displaystyle (-1,1)}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist).

Sei ${\displaystyle M}$ wieder eine ${\displaystyle C^{\infty }}$-Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle p}$ ein Punkt in ${\displaystyle M}$. Betrachten wir nun das Ideal ${\displaystyle I}$ von ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$, das aus allen glatten Funktionen ${\displaystyle g}$ besteht, die ${\displaystyle p}$ auf ${\displaystyle 0}$ abbilden. Dann sind ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle I^{2}=\left\{x\cdot y\mid x,y\in I\right\}}$ reelle Vektorräume, und ${\displaystyle T_{p}M}$ wird als der Dualraum des Quotientenraums ${\displaystyle I/I^{2}}$ definiert. ${\displaystyle I/I^{2}}$ wird auch als Kotangentialraum ${\displaystyle T_{p}^{*}M}$ bezeichnet (siehe unten).

Während diese Definition die abstrakteste ist, ist sie auch diejenige, die man am leichtesten auf andere Situationen übertragen kann, beispielsweise auf Varietäten, wie sie in der algebraischen Geometrie betrachtet werden.

Sei ${\displaystyle D}$ eine Derivation an ${\displaystyle p}$. Dann ist ${\displaystyle D(g)=0}$ für jedes ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle I^{2}}$ (denn es existieren ${\displaystyle x,y\in I}$ mit ${\displaystyle g=xy}$, somit ${\displaystyle D(g)=D(xy)=D(x)y(p)+x(p)D(y)=0}$), womit ${\displaystyle D}$ eine lineare Abbildung ${\displaystyle I/I^{2}\to \mathbb {R} }$ induziert. Umgekehrt ist ${\displaystyle D(g)=r((g-g(p))+I^{2})}$ eine Derivation, wenn ${\displaystyle r\colon I/I^{2}\to \mathbb {R} }$ eine lineare Abbildung ist. Dies zeigt, dass sich der über Derivationen und der über ${\displaystyle I/I^{2}}$ definierte Tangentialraum entsprechen.

Die beiden algebraischen Definitionen funktionieren genauso auch für algebraische Varietäten, wobei hier der Tangentialraum auch als Zariski-Tangentialraum bezeichnet wird. Im Unterschied zu Mannigfaltigkeiten können algebraische Varietäten aber Singularitäten haben, dort hat dann der Tangentialraum eine höhere Dimension als in glatten Punkten.

Eine Sichtweise von Tangentialvektoren ist, sie als Richtungsableitungen zu sehen. Für einen Vektor ${\displaystyle v}$ im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ definiert man die Richtungsableitung einer glatten Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ an einem Punkt ${\displaystyle p}$ durch

${\displaystyle D_{v}f(p)={\frac {d}{dt}}{\bigg |}_{t=0}f(p+tv)=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)}$

Diese Abbildung ist offenbar eine Derivation. Tatsächlich ist sogar jede Derivation von ${\displaystyle C^{\infty }}$(${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) von dieser Form. So existiert eine Bijektion zwischen Vektoren (als Tangentialvektor am Punkt ${\displaystyle p}$ gedacht) und den Derivationen.

Da Tangentialvektoren an einer allgemeinen Mannigfaltigkeit als Derivationen definiert werden können, ist es nur natürlich, sie auch als Richtungsableitungen zu sehen. Konkret kann man für einen Tangentialvektor ${\displaystyle v}$ von ${\displaystyle M}$ an einem Punkt ${\displaystyle p}$ (als Derivation gesehen) die Richtungsableitung in Richtung ${\displaystyle v}$ für ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ Element von ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ wie folgt definieren:

${\displaystyle D_{v}(f)=v(f)}$

Sehen wir ${\displaystyle v}$ im Sinne der geometrischen Definition des Tangentialraums als ${\displaystyle v=\gamma '(0)}$ für eine Kurve ${\displaystyle \gamma }$, schreiben wir

${\displaystyle D_{v}(f)=(f\circ \gamma )'(0)}$.

Jede differenzierbare Abbildung ${\displaystyle f\colon M\to N}$ zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten induziert eine lineare Abbildung

${\displaystyle \mathrm {d} f_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}$

zwischen den entsprechenden Tangentialräumen, definiert durch

${\displaystyle \mathrm {d} f_{p}(\gamma '(0)):=(f\circ \gamma )'(0)}$

für die geometrische Definition des Tangentialraums und

${\displaystyle \mathrm {d} f_{p}(D)(g):=D(g\circ f)}$

für die Definition mittels Derivationen.

Die lineare Abbildung ${\displaystyle \mathrm {d} f_{p}}$ wird mit Differential, Ableitung, Totalableitung oder auch Tangentialabbildung bezeichnet. Auch hier variieren die Notationen stark. Benutzt werden vor allem: ${\displaystyle \mathrm {d} f_{p}}$, ${\displaystyle \mathrm {D} f_{p}}$, ${\displaystyle f_{*}}$ und ${\displaystyle f'(p)}$.

In einem gewissen Sinne ist die Totalableitung die beste lineare Approximation von ${\displaystyle f}$ in einer Umgebung von ${\displaystyle p}$. In lokalen Koordinaten kann man die Totalableitung als Jacobische Matrix darstellen.

Ist die Tangentialabbildung surjektiv, hat also die Jacobi-Matrix überall vollen Rang, so nennt man die zugrundeliegende Funktion Submersion; ist die Tangentialabbildung injektiv, Immersion.

Ein wichtiges Resultat bezüglich Tangentialabbildungen ist der Satz:

Genau dann, wenn ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ein lokaler Diffeomorphismus bei ${\displaystyle p}$ in ${\displaystyle M}$ ist, ist ${\displaystyle \mathrm {d} f_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}$ ein linearer Isomorphismus.

Dies ist eine Verallgemeinerung des Satzes über inverse Funktionen auf Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten.

Falls ${\displaystyle M}$ eine glatte Mannigfaltigkeit mit Rand ist und ${\displaystyle p\in \partial M}$, dann können die Vektoren im Tangentialraum ${\displaystyle T_{p}M}$ in drei Klassen aufgeteilt werden:

• ${\displaystyle v\in T_{p}M\setminus T_{p}\partial M}$ heißt nach innen gerichtet für ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$, wenn eine glatte Kurve ${\displaystyle \gamma \colon [0,\varepsilon )\to M}$ existiert mit ${\displaystyle \gamma (0)=p}$ und ${\displaystyle \gamma '(\varepsilon )=v}$.
• ${\displaystyle v\in T_{p}M\setminus T_{p}\partial M}$ heißt nach aussen gerichtet für ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$, wenn eine glatte Kurve ${\displaystyle \gamma \colon (-\varepsilon ,0]\to M}$ existiert mit ${\displaystyle \gamma (0)=p}$ und ${\displaystyle \gamma '(\varepsilon )=v}$.
• die Restlichen sind tangent zum Rand.[1]