Tangentenumlaufzahl

Tangentenrichtungen

Eine geschlossene reguläre Kurve in der Ebene ist eine Abbildung

${\displaystyle c\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$

mit ${\displaystyle f^{\prime }(x)\not =(0,0)}$ für alle ${\displaystyle x}$.

Ihre Tangentenumlaufzahl ist die Umlaufzahl der Tangente als Abbildung

${\displaystyle {\dot {c}}\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}}$

in Bezug auf den Nullpunkt ${\displaystyle (0,0)}$, also die Anzahl der Umrundungen von ${\displaystyle {\dot {c}}}$ entgegen der Uhrzeigerrichtung um den Nullpunkt.

Die Tangentenumlaufzahl kann als die durch ${\displaystyle 2\pi }$ dividierte Totalkrümmung der Kurve

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{S^{1}}k(\theta )d\theta }$,

wobei ${\displaystyle k(\theta )}$ die Krümmung der Kurve im Punkt ${\displaystyle f(\theta )}$ bezeichnet.

Eine Kurve mit Umlaufzahl > 1 muss einen Doppelpunkt haben.

Der Satz von Whitney-Graustein besagt, dass zwei reguläre Kurven in der Ebene genau dann regulär homotop sind, wenn sie dieselbe Tangentenumlaufzahl haben.

Der Umlaufsatz von Heinz Hopf besagt, dass die Tangentenumlaufzahl einer Kurve ohne Selbstdurchdringungen 1 oder −1 sein muss.

• Christian Bär: Elementare Differentialgeometrie. De Gruyter Studium, 2002. ISBN 978-3-11-022459-7