Takai-Dualität

Es sei ${\displaystyle (A,G,\alpha )}$ ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe ${\displaystyle G}$. Dann gibt es dazu die Dualgruppe ${\displaystyle {\hat {G}}}$ der stetigen Gruppenhomomorphismen ${\displaystyle G\rightarrow \{z\in \mathbb {C}$ ;\,|z|=1\}} , die mit der Topologie der kompakten Konvergenz wieder eine, abelsche, lokalkompakte Gruppe ist. Weiter sei ${\displaystyle K(A,G,\alpha )}$ die in ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }\!G}$ dicht liegende Faltungsalgebra der stetigen Funktionen ${\displaystyle G\rightarrow A}$ mit kompaktem Träger. Für ${\displaystyle \chi \in {\hat {G}}}$ sei

${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{\chi }:K(A,G,\alpha )\rightarrow K(A,G,\alpha ),\,({\hat {\alpha }}_{\chi }(x))(t):=\chi (t)x(t)}$, wobei ${\displaystyle x\in K(A,G,\alpha ),t\in G}$.

Dann lässt sich ${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{\chi }}$ zu einem ebenso bezeichneten Automorphismus auf ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }\!G}$ ausdehnen und ${\displaystyle \chi \mapsto {\hat {\alpha }}_{\chi }}$ ist ein Gruppenhomomorphismus von der Dualgruppe ${\displaystyle {\hat {G}}}$ in die Automorphismengruppe von ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }\!G}$, der ${\displaystyle (A\ltimes _{\alpha }\!G,{\hat {G}},{\hat {\alpha }})}$ zu einem C*-dynamischen System macht, das man das duale C*-dynamische System nennt.

Es sei ${\displaystyle (A,G,\alpha )}$ ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle (A\ltimes _{\alpha }\!G,{\hat {G}},{\hat {\alpha }})}$ sei das duale C*-dynamische System. Ist ${\displaystyle K(L^{2}(G))}$ die C*-Algebra der kompakten Operatoren über dem Hilbertraum ${\displaystyle L^{2}(G)}$ der bzgl. des Haarmaßes quadratintegrierbaren Funktionen, so ist ${\displaystyle (A\ltimes _{\alpha }\!G)\ltimes _{\hat {\alpha }}{\hat {G}}\cong A\otimes K(L^{2}(G))}$.[1][2][3]

Dies ist eine Analogie zur auf Takesaki zurückgehenden Dualität für W*-dynamischen Systeme. Die Tensorierung mit der vollen Operatorenalgebra für Von-Neumann-Algebren ist bei der hier vorgestellten Takai-Dualität durch das Tensorieren mit der C*-Algebra der kompakten Operatoren ersetzt.

Ist ${\displaystyle L^{2}(G)}$ separabel, zum Beispiel wenn ${\displaystyle G}$ abzählbar unendlich und diskret ist, so ist ${\displaystyle K(L^{2}(G))}$ isomorph zur C*-Algebra der kompakten Operatoren über dem Folgenraum ${\displaystyle \ell ^{2}}$. Man nennt zwei C*-Algebren ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ stabil-isomorph, wenn ${\displaystyle A\otimes K(\ell ^{2})\cong B\otimes K(\ell ^{2})}$. Der Satz über die Takei-Dualität sagt somit, dass das Kreuzprodukt des zu ${\displaystyle (A,G,\alpha )}$ dualen C*-dynamischen Systems stabil-isomorph zu ${\displaystyle A}$ ist.

Ist ${\displaystyle G}$ eine endliche Gruppe der Ordnung ${\displaystyle n}$, so ist ${\displaystyle K(L^{2}(G))\cong K(\mathbb {C} ^{n})\cong M_{n}(\mathbb {C} )}$ und daher ${\displaystyle (A\ltimes _{\alpha }\!G)\ltimes _{\hat {\alpha }}{\hat {G}}\cong M_{n}(A)}$. Insbesondere folgt bis auf Isomorphie ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }\!G\subset M_{n}(A)}$ und man erhält eine handliche Realisierung des Kreuzproduktes als Unteralgebra einer Matrizenalgebra.

Ist als konkretes Beispiel ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}}$ die zweielementige Gruppe, so ist ${\displaystyle \alpha _{0}=\mathrm {id} _{A}}$ und ${\displaystyle \alpha _{1}\in \mathrm {Aut} (A)}$ ein Automorphismus mit ${\displaystyle \alpha _{1}\circ \alpha _{1}=\mathrm {id} _{A}}$. Man erhält mit obiger Isomorphie

${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }\!\mathbb {Z} _{2}\cong \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\\alpha _{1}(b)&\alpha _{1}(a)\end{pmatrix}}|a,b\in A\right\}\subset M_{2}(A)}$.

Um dann daraus ${\displaystyle M_{2}(A)}$ zu erhalten, muss man nach obigem Satz die duale Operation ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ von ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} _{2}}}=\mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}}$ auf ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }\!\mathbb {Z} _{2}}$ betrachten. ${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{0}}$ ist natürlich die Identität auf dem Kreuzprodukt und

${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{1}({\begin{pmatrix}a&b\\\alpha _{1}(b)&\alpha _{1}(a)\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}a&-b\\-\alpha _{1}(b)&\alpha _{1}(a)\end{pmatrix}}}$.

Wendet man darauf dieselbe Einbettung in die Matrizenalgebra ${\displaystyle M_{2}(A\ltimes _{\alpha }\!\mathbb {Z} _{2})}$ an, erhält man insgesamt eine Unteralgebra von ${\displaystyle M_{4}(A)}$, von der man zeigen kann, dass sie zu ${\displaystyle M_{2}(A)}$ isomorph ist.

1. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 10.1.2
2. H. Takai: On a duality for crossed products of C*-algebras, Journal of Functional Analysis, Band 19 (1975), Seiten 25–39
3. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Satz 7.9.3