T₁-Raum

Sei X ein topologischer Raum. X heißt T₁-Raum, falls für zwei beliebige Punkte jeder eine Umgebung besitzt, in der der andere nicht liegt. Zur Abgrenzung: Bei einem T₀-Raum muss nur einer der beiden Punkte eine solche Umgebung besitzen, bei einem T₂-Raum müssen die beiden Umgebungen disjunkt gewählt werden können. Man sagt auch, dass ein T₁-Raum eine Fréchet-Topologie besitzt. Zu vermeiden ist in diesem Zusammenhang die Bezeichnung Fréchet-Raum, die ein Begriff aus der Funktionalanalysis ist.

Sei X ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:

• X ist ein T₁-Raum.
• X ist ein Kolmogoroff-Raum und ein R₀-Raum.
• Alle einpunktigen Mengen in X sind abgeschlossen.
• Jede endliche Menge ist abgeschlossen.
• Jede Menge mit endlichem Komplement ist offen.
• Jeder Elementarfilter zu einem beliebigen x konvergiert nur gegen x.
• Für jede Teilmenge S von X gilt, dass ein Element x aus X genau dann ein Häufungspunkt von S ist, wenn jede offene Umgebung von x unendlich viele Elemente von S enthält.

In topologischen Räumen gelten immer folgende Implikationen

getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar ⇒ disjunkt

Falls der erste Pfeil umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R₀-Raum, genau in einem T₀-Raum gilt dies auch für die zweite Implikation. Damit sieht man, dass ein topologischer Raum genau dann T₁ erfüllt, wenn er sowohl ein R₀-Raum und ein T₀-Raum ist.

Die Zariski-Topologie auf einer algebraischen Varietät (im klassischen Sinne) ist T₁. Um das zu sehen betrachten wir einen Punkt mit lokaler Koordinate ${\displaystyle (c_{1},\ldots c_{n})}$. Die dazugehörige einpunktige Menge ist die Nullstellenmenge der Polynome ${\displaystyle X-c_{1},\ldots ,X-c_{n}}$. Der Punkt ist somit abgeschlossen.

Für ein weiteres Beispiel betrachten wir die kofinite Topologie auf einer abzählbaren Menge, etwa der Menge der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Als offene Menge definieren wir genau die leere Menge und die Mengen mit endlichem Komplement. Sie haben also alle die Gestalt ${\displaystyle O_{A}=\mathbb {Z} \setminus A}$ mit einer endlichen Menge A. Seien nun x und y zwei verschiedene Punkte. Die Menge ${\displaystyle O_{\{y\}}}$ ist eine offene Menge, die x enthält und y nicht. Andererseits enthält ${\displaystyle O_{\{x\}}}$ das Element y aber x nicht. Somit handelt es sich tatsächlich um einen T₁-Raum. Dies kann man aber auch aus der Tatsache folgern, dass einelementige Mengen abgeschlossen sind. Dieser Raum ist aber kein T₂-Raum. Denn für zwei endliche Mengen A und B gilt ${\displaystyle O_{A}\cap O_{B}=O_{A\cup B}}$, was nie leer sein kann. Weiter ist die Menge der geraden Zahlen kompakt, aber nicht abgeschlossen, was in einem T₂-Raum nie der Fall sein kann.

Allgemeiner gilt für jeden topologischen Raum, der das T₁-Axiom erfüllt, dass seine Topologie bereits die kofinite Topologie umfasst. Die kofinite Topologie ist somit die gröbste T₁-Topologie auf einer Menge.

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.