Systemidentifikation

Aus der Übertragungsfunktion des Modells

${\displaystyle G(s)={\frac {x_{a}(s)}{x_{e}(s)}}}$

und der Sprungfunktion im Bildbereich

${\displaystyle x_{e}(s)={\frac {K}{s}}}$

erhält man durch inverse Laplace-Transformation die Sprungantwortfunktion des Modells

${\displaystyle x_{a}(t)=L^{-1}\{G(s)\cdot x_{e}(s)\}}$.

Der Anstieg ${\displaystyle m(t)\;}$ der Sprungantwortfunktion des Modells zum Zeitpunkt t ist

${\displaystyle m(t)={\frac {dx_{a}(t)}{dt}}}$.

Der Wendezeitpunkt ${\displaystyle t_{w}\;}$ errechnet sich aus der Bedingung

${\displaystyle {\frac {d^{2}x_{a}(t)}{dt^{2}}}=0}$.

Mit diesen Daten ist

${\displaystyle x_{T}(t)=m(t_{w})\cdot (t-t_{w})+x_{a}(t_{w})}$

die Gleichung der Wendetangente des Modells. Weiterhin gilt für den Durchtrittspunkt der Wendetangente durch die Zeitachse

${\displaystyle x_{T}(t_{0})=0=m(t_{w})\cdot (t_{0}-t_{w})+x_{a}(t_{w})}$

und durch den stationären Wert

${\displaystyle x_{T}(t_{1})=K=m(t_{w})\cdot (t_{1}-t_{w})+x_{a}(t_{w})}$.

Aus der Skizze ist zu erkennen, dass ${\displaystyle m(t_{w})={\frac {K}{T_{g}}}}$, ${\displaystyle t_{0}=T_{u}\;}$ und ${\displaystyle t_{1}=T_{u}+T_{g}\;}$ gilt. Damit lautet die Beziehung zwischen den Parametern des Systems ${\displaystyle T_{u}\;}$, ${\displaystyle T_{g}\;}$ und den Eigenschaften des Modells ${\displaystyle t_{w}\;}$ und ${\displaystyle x_{a}(t_{w})\;}$

${\displaystyle T_{u}=t_{w}-T_{g}\cdot {\frac {x_{a}(t_{w})}{K}}}$.

Diese Beziehungen sind als Tabellen und Nomogramme für konkrete Modelle verfügbar.

Mit dem beschriebenen Verfahren können nur Funktionen mit zwei Zeitkonstanten oder bei n gleichen Zeitkonstanten die Anzahl n und die Zeitkonstante bestimmt werden. Als Übertragungsfunktionen werden unter anderem eingesetzt:

• Zwei unterschiedliche Zeitkonstanten ${\displaystyle T_{1}\;}$ und ${\displaystyle T_{2}\;}$

${\displaystyle G(s)={\frac {K}{(1+T_{1}\cdot s)\cdot (1+T_{2}\cdot s)}}}$

• ${\displaystyle n\;}$ gleiche Zeitkonstanten ${\displaystyle T_{1}\;}$

${\displaystyle G(s)={\frac {K}{(1+T_{1}\cdot s)^{n}}}}$

• Zwei gleiche Zeitkonstanten ${\displaystyle T_{1}\;}$ und eine Zeitkonstante ${\displaystyle T_{2}\;}$

${\displaystyle G(s)={\frac {K}{(1+T_{1}\cdot s)^{2}\cdot (1+T_{2}\cdot s)}}}$

• Bei großen Totzeiten oder Zeitverzögerungen geht auch

${\displaystyle G(s)={\frac {K\cdot e^{-T_{t}\cdot s}}{(1+T_{1}\cdot s)}}}$

Vergleich gemessener und identifizierter Sprungantwort.

Für den Fall ${\displaystyle n\;}$ gleiche Zeitkonstanten ${\displaystyle T\;}$

${\displaystyle G(s)={\frac {K}{(1+T\cdot s)^{n}}}}$

lautet die Sprungantwortfunktion

${\displaystyle x_{a}(t)=K\cdot \left\{1-\left[\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {({\frac {t}{T}})^{m}}{m!}}\right]\cdot e^{-t/T}\right\}}$

Der Anstieg der Wendetangente ist

${\displaystyle m(t)={\frac {dx_{a}(t)}{dt}}=\left(\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {t^{m}}{T^{m+1}\cdot m!}}-\sum _{m=1}^{n-1}{\frac {m\cdot t^{m-1}}{T^{m}\cdot m!}}\right)\cdot e^{-{\frac {t}{T}}}}$

und aus

${\displaystyle {\frac {d^{2}x_{a}(t)}{dt^{2}}}=\left(-\sum _{m=2}^{n-1}{\frac {m\cdot (m-1)\cdot t^{m-2}}{T^{m}\cdot m!}}+2\cdot \sum _{m=1}^{n-1}{\frac {m\cdot t^{m-1}}{T^{m+1}\cdot m!}}-\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {t^{m}}{T^{m+2}\cdot m!}}\right){\dot {e}}^{-{\frac {t}{T}}}}$

folgt mit

${\displaystyle {\frac {d^{2}x_{a}(t)}{dt^{2}}}=0}$

nach umindizieren der Summen

${\displaystyle {-\sum _{m=0}^{n-3}{\frac {({\frac {t}{T}})^{m}}{m!}}+2\cdot \sum _{m=0}^{n-3}{\frac {({\frac {t}{T}})^{m}}{m!}}+2\cdot {\frac {({\frac {t}{T}})^{n-2}}{(n-2)!}}-\sum _{m=0}^{n-3}{\frac {({\frac {t}{T}})^{m-1}}{(m-1)!}}-{\frac {({\frac {t}{T}})^{n-2}}{(n-2)!}}-{\frac {({\frac {t}{T}})^{n-1}}{(n-1)!}}=0}}$

und

${\displaystyle {\frac {({\frac {t}{T}})^{n-2}}{(n-2)!}}={\frac {({\frac {t}{T}})^{n-1}}{(n-1)!}}}$

die Wendezeit

${\displaystyle t_{w}=(n-1)\cdot T}$.

Der Anstieg im Wendepunkt ist

${\displaystyle m(t_{w})=K\cdot {\frac {e^{-(n-1)}\cdot (n-1)^{n-2}}{T\cdot (n-2)!}}}$

und

${\displaystyle x_{a}(t_{w})=K\cdot \left\{1-\left[\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(n-1)^{m}}{m!}}\right]\cdot e^{-(n-1)}\right\}}$

Die Wendetangentenkonstruktion liefert mit ${\displaystyle T_{g}={\frac {K}{m(t_{w})}}}$ die numerisch auszuwertenden Beziehungen

${\displaystyle {\frac {T_{g}}{T}}={\frac {(n-1)!}{(n-1)^{n-1}}}\cdot e^{n-1}}$

und mit ${\displaystyle T_{u}=t_{w}-T_{g}\cdot {\frac {x_{a}(t_{w})}{K}}}$

${\displaystyle {\frac {T_{u}}{T}}=n-1-{\frac {(n-1)!}{(n-1)^{n-1}}}\cdot \left[e^{n-1}-\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(n-1)^{m}}{m!}}\right]}$.

Das Scilab-Script

N=10;
printf("\n");
printf(" n     |Tg/T  |Tu/T  |Tg/Tu\n");
printf("----------------------------\n");
for n=2:N,
 su=0;
 for i=0:n-1,su=su+(n-1)^i/factorial(i);end;
 fa=factorial(n-1)*exp(n-1)/(n-1)^(n-1);
 fu=n-1-factorial(n-1)*(exp(n-1)-su)/(n-1)^(n-1);
 printf(" %-5d |%-5.3f |%-5.3f |%-5.3f\n",n,fa,fu,fa/fu);
end;
printf("----------------------------\n");

erzeugt eine Tabelle der Werte nach den oben angegebenen Beziehungen.

n     |Tg/T  |Tu/T  |Tg/Tu
----------------------------
2     |2.718 |0.282 |9.649
3     |3.695 |0.805 |4.587
4     |4.463 |1.425 |3.131
5     |5.119 |2.100 |2.437
6     |5.699 |2.811 |2.027
7     |6.226 |3.549 |1.754
8     |6.711 |4.307 |1.558
9     |7.164 |5.081 |1.410
10    |7.590 |5.869 |1.293
----------------------------

Aus der gemessenen Sprungantwort wurden die Werte ${\displaystyle T_{u}=1{,}030}$, ${\displaystyle T_{g}=5{,}183}$ und ${\displaystyle T_{g}/T_{u}=5{,}031}$ mit einem Scilab-Script numerisch ermittelt. Aus der Tabelle folgt ${\displaystyle n=3}$, ${\displaystyle T_{g}/T=3{,}695}$ und ${\displaystyle T_{u}/T=0{,}805}$. Weil die aus ${\displaystyle T_{g}}$ und ${\displaystyle T_{u}}$ berechneten Zeitkonstanten unterschiedlich sind, wurde die mittlere Zeitkonstante zu ${\displaystyle T=1{,}341}$ berechnet. Damit gilt für die Übertragungsfunktion des Modells

${\displaystyle G(s)={\frac {1}{(1+1{,}341s)^{3}}}}$.