Synchrotronstrahlung

Koordinatensystem mit Polarwinkel ${\displaystyle \theta }$ und Azimutalwinkel ${\displaystyle \phi }$, das Teilchen bewegt sich in der ${\displaystyle (x,z)}$-Ebene

Die differentielle abgestrahlte Leistung pro Raumwinkelelement ${\displaystyle \mathrm {d} P/d\Omega }$ einer auf einer Kreisbahn bewegten Ladung beträgt[6]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {q^{2}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c}}{\frac {{\dot {\vec {\beta }}}^{2}}{(1-\beta \cos \theta )^{3}}}\left[1-{\frac {\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\phi }{\gamma ^{2}(1-\beta \cos \theta )^{2}}}\right]}$

wobei das Koordinatensystem so gewählt ist, dass die bewegte Ladung momentan im Ursprung liegt, der Geschwindigkeitsvektor in ${\displaystyle z}$-Richtung und der Beschleunigungsvektor in ${\displaystyle x}$-Richtung zeigt. Dann sind ${\displaystyle \phi }$ der Azimutalwinkel und ${\displaystyle \theta }$ der Polarwinkel. Die restlichen in der Gleichung vorkommenden Größen sind:

• die elektrische Ladung des Teilchens ${\displaystyle q}$,
• die Elektrische Feldkonstante ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$,
• die Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$,
• die Geschwindigkeit des Teilchens in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {\beta }}={\vec {v}}/c}$ und
• der Lorentzfaktor ${\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}}$

Für hochrelativistische Geschwindigkeiten, ${\displaystyle \beta \to 1}$, neigt sich das Maximum der abgestrahlten Leistung immer mehr in Vorwärtsrichtung ${\displaystyle \theta \to 0}$. Dieser Grenzfall lässt sich durch

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \Omega }}\approx {\frac {q^{2}}{2\pi ^{2}\varepsilon _{0}c}}\gamma ^{6}{\frac {{\dot {\vec {\beta }}}^{2}}{(1+\gamma ^{2}\theta ^{2})^{3}}}\left[1-{\frac {4\gamma ^{2}\theta ^{2}\cos ^{2}\phi }{(1+\gamma ^{2}\theta ^{2})^{2}}}\right]}$

beschreiben.[6] Nach einer Mittelung über den Azimutalwinkel ${\displaystyle \phi }$ ergibt sich die Wurzel aus dem mittleren quadratischen Öffnungswinkel zu

${\displaystyle {\sqrt {\overline {\theta ^{2}}}}={\frac {1}{\gamma }}={\frac {mc^{2}}{E}}}$

und nimmt mit wachsender Energie ${\displaystyle E}$ des Teilchens ab. Im momentanen Ruhesystem erfolgt die Abstrahlung nach der Charakteristik eines Hertz’schen Dipols quer zur Beschleunigung des Teilchens. Die im Laborsystem mit steigender Energie beobachtete zunehmend scharfe Bündelung entlang der Bewegungsrichtung wird durch eine Lorentztransformation verständlich.

Die differentielle Intensitätsverteilung der Strahlung eines geladenen Teilchens folgt nach den Liénard-Wiechert-Potentialen für bewegte Ladungen zu:[6]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}I}{\mathrm {d} \omega \,\mathrm {d} \Omega }}={\frac {q^{2}}{16\pi ^{3}\varepsilon _{0}c}}\omega ^{2}\left|\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} t\,{\vec {n}}\times ({\vec {n}}\times {\vec {\beta }})e^{\mathrm {i} \omega (t-{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}/c)}\right|^{2}}$

Da im hochrelativistischen Limes nur kleine Öffnungswinkel interessieren und die Synchrotronstrahlung ähnlich wie ein Scheinwerfer in nur kurzen Pulsen den Beobachtungspunkt überstreicht, führt eine Taylor-Entwicklung in ${\displaystyle t}$ und ${\displaystyle \theta }$ zu[6]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}I}{\mathrm {d} \omega \,\mathrm {d} \Omega }}\approx {\frac {q^{2}}{12\pi ^{3}\varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\omega R}{c}}\right)^{2}\left({\frac {1}{\gamma ^{2}}}+\theta ^{2}\right)^{2}\left[K_{2/3}^{2}(\xi )+{\frac {\theta ^{2}}{(1/\gamma ^{2})+\theta ^{2}}}K_{1/3}^{2}(\xi )\right]}$,

wobei ${\displaystyle K_{1/3}}$ und ${\displaystyle K_{2/3}}$ die Airyschen Integrale bezeichnen. Ihr Argument ist ${\displaystyle \textstyle \xi ={\frac {\omega R}{3c}}\left(1/\gamma ^{2}+\theta ^{2}\right)^{3/2}}$. Der erste Summand in der Klammer ist dabei die Intensität der in der Bahnebene polarisierten, der zweite Summand der dazu senkrecht polarisierten Strahlung. Das Ergebnis ist unabhängig vom Azimutalwinkel ${\displaystyle \phi }$, da über eine komplette Umlaufbahn ${\displaystyle r(t)}$ integriert wird und sich die Richtung relativ zum Beschleunigungsvektor herausmittelt.

Die Integration über alle Winkel ergibt[6]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} \omega }}={\sqrt {3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\gamma {\frac {\omega }{\omega _{c}}}\int _{\omega /\omega _{c}}^{\infty }\mathrm {d} x\,K_{5/3}(x)}$

mit der kritischen Kreisfrequenz ${\displaystyle \textstyle \omega _{c}={\frac {3}{2}}\gamma ^{3}{\frac {c}{R}}}$ und die Integration über alle Frequenzen[6]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {7}{16}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q^{2}}{R}}{\frac {1}{(1/\gamma ^{2}+\theta ^{2})^{5/2}}}\left[1+{\frac {5}{7}}{\frac {\theta ^{2}}{(1/\gamma ^{2})+\theta ^{2}}}\right]}$.

Eine vollständige Integration sowohl über alle Winkel als auch Frequenzen ergibt

${\displaystyle I\approx {\frac {7}{24\varepsilon _{0}}}{\frac {q^{2}}{R}}\gamma ^{4}\left[1+{\frac {1}{7}}\right]}$;

die Intensität der zur Bahnebene parallelen Polarisation ist also siebenmal größer als die der zur Bahnebene orthogonalen.

Die Darstellung der Frequenzverteilung als Integral über eine Besselfunktion ist zwar exakt, aber in der praktischen Anwendung unhandlich. Daher existieren folgende Näherungen für kleine Frequenzen

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} \omega }}\right|_{\omega \ll \omega _{c}}\approx \left({\frac {\Gamma (2/3)}{\pi }}\right)^{2}\left({\frac {3}{2}}\right)^{1/3}{\frac {q^{2}}{2\varepsilon _{0}c}}\gamma \left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)^{1/3}}$

mit der Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma }$, die den Wert ${\displaystyle \Gamma (2/3)\approx 1{,}354}$ annimmt und für große Frequenzen

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} \omega }}\right|_{\omega \gg \omega _{c}}\approx \left({\frac {3}{8\pi }}\right)^{1/2}{\frac {q^{2}}{2\varepsilon _{0}c}}\gamma \left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)^{1/2}e^{-\omega /\omega _{c}}}$

Die totale Leistung ergibt sich nach einer Integration der Leistung über den kompletten Raumwinkel zur Larmor-Formel[6]

${\displaystyle P={\frac {q^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c}}\gamma ^{6}\left(({\dot {\vec {\beta }}})^{2}-({\vec {\beta }}\times {\dot {\vec {\beta }}})^{2}\right)}$.

Bei einer Kreisbahn ist die Beschleunigung immer orthogonal zur momentanen Bewegungsrichtung. Es kann daher mit Beträgen statt mit Vektoren gerechnet werden. Des Weiteren ist der Betrag der Zentripetalbeschleunigung ${\displaystyle {\dot {\beta }}=c\beta ^{2}/R}$. Es folgt

${\displaystyle P={\frac {c}{6\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q^{2}}{R^{2}}}\beta ^{4}\gamma ^{4}}$.

Der gesamte Energieverlust eines Teilchens pro Umlauf beträgt daher[7]

${\displaystyle \Delta E=P\Delta t=P{\frac {2\pi R}{\beta c}}={\frac {1}{3\varepsilon _{0}}}{\frac {q^{2}}{R}}\beta ^{3}\gamma ^{4}}$

Für relativistische Geschwindigkeiten, also ${\displaystyle \beta \approx 1}$, wird dies zu:

${\displaystyle \Delta E\approx {\frac {1}{3\varepsilon _{0}}}{\frac {q^{2}}{R}}\gamma ^{4}={\frac {1}{3\varepsilon _{0}}}{\frac {q^{2}}{R}}\left({\frac {E}{mc^{2}}}\right)^{4}}$

Dies stimmt aufgrund des Energieerhaltungssatzes mit der Gesamtenergie der emittierten Strahlung überein. Bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit nimmt also der Energieverlust des Teilchens durch die Abstrahlung sehr stark mit der kinetischen Energie zu.

Die in Richtung der Ringebene linear polarisierte Strahlung eignet sich beispielsweise gut, um magnetische Materialien mittels mikromagnetischer Untersuchung zu charakterisieren. Die lineare Polarisation kann mittels mechanischer Phasenverschiebung der Magnetisierungsregionen in einem Undulator in zirkulare Polarisation umgewandelt werden; dies ermöglicht höhere Kontraste bei der Untersuchung der Magnetisierungsregionen magnetischer Materialien. Die Bestrahlung racemischer organischer Verbindungen mit zirkular polarisierter Synchrotronstrahlung erlaubt es etwa, in chiralen Aminosäuren einen Enantiomerenüberschuss zu erzielen.

Man unterscheidet Quellen der ersten, zweiten, dritten und vierten Generation. Diese unterscheiden sich im Wesentlichen durch die Brillanz der emittierten Strahlung.

• Bei der ersten Generation wurden Teilchenbeschleuniger der Teilchenphysik „parasitär“ verwendet, das heißt, man nutzte nur die Strahlung, die während des teilchenphysikalischen Betriebes ohnehin unvermeidlich entstand.
• In der zweiten Generation werden Synchrotronstrahlungsquellen allein zur Erzeugung der Strahlung gebaut. Dabei speichert man die beschleunigten Teilchen für mehrere Stunden in Speicherringen und erreicht damit konstante Arbeitsbedingungen. Die Strahlung entsteht nicht nur in den ohnehin vorhandenen Dipolmagneten, sondern zusätzlich in speziellen Magnetstrukturen, den Wigglern.
• Die dritte Generation bilden Synchrotrone mit Undulatoren im Speicherring. Mit Undulatoren kann eine brillantere Strahlung als mit Wigglern erzeugt werden.
• Freie-Elektronen-Laser (FEL) stellen die vierte Generation dar. Erste Anlagen sind FELICITA am DELTA an der TU Dortmund und der FLASH am DESY in Hamburg.

Die Synchrotronstrahlung kann genutzt werden für die

• Oberflächenphysik
• Materialwissenschaften
• Röntgenbeugung
• Photochemie
• Röntgentiefenlithographie
• Metrologie
• Mineralogie
• Molekularbiologie
• Biophysik und
• Medizin