Symplektisches Vektorfeld

Für eine symplektische Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,\omega )}$ ist ein glattes Vektorfeld ${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(M)}$ mit ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0}$ ein symplektisches Vektorfeld. Mit der Cartan-Formel ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=\mathrm {d} i_{X}+i_{X}\mathrm {d} }$ und der Geschlossenheit ${\displaystyle \mathrm {d} \omega =0}$ der symplektischen Form ${\displaystyle \omega }$ folgt die äquivalente Bedingung der Geschlossenheit ${\displaystyle \mathrm {d} i_{X}\omega =\mathrm {d} (\omega (X,-))=0}$ der Form ${\displaystyle i_{X}\omega =\omega (X,-)}$.[1][2]

• Linearkombinationen von symplektischen Vektorfeldern sind symplektische Vektorfelder. Für Skalare ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ und symplektische Vektorfelder ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {X}}(M)}$ gilt mit der Linearität des Cartan-Differntials ${\displaystyle \mathrm {d} }$ und der Bilinearität der symplektischen Form ${\displaystyle \omega }$:

  ${\displaystyle \mathrm {d} (\omega (aX+bY,-))=\mathrm {d} (a\omega (X,-)+b\omega (Y,-))=a\mathrm {d} (\omega (X,-))+b\mathrm {d} (\omega (Y,-))=0.}$

• Lie-Klammern von symplektischen Vektorfeldern sind symplektische Vektorfelder. Für symplektische Vektorfelder ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {X}}(M)}$ ist:

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[X,Y]}\omega =[{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\omega =0.}$

Gemäß der Lemmata bilden die symplektischen Vektorfelder auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,\omega )}$ einen Vektorraum und mit der Lie-Klammer ${\displaystyle [-,-]}$ sogar eine Lie-Algebra, notiert als ${\displaystyle {\mathfrak {Symp}}(M,\omega )}$. Diese ist für geschlossenes ${\displaystyle M}$ die Lie-Algebra der Lie-Gruppe der symplektischen Diffeomorphismen ${\displaystyle \operatorname {Symp} (M,\omega )}$.[3]

Per Definition ist für ein symplektisches Vektorfeld ${\displaystyle X}$ die ${\displaystyle 1}$-Form ${\displaystyle i_{X}\omega }$ geschlossen und erzeugt daher ein Element ${\displaystyle [i_{X}\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{1}(M)}$ der ersten De-Rham-Kohomologie. Aufgrund der Bilinearität der symplektischen Form ${\displaystyle \omega }$ ist diese Zuordnung eine lineare Abbildung:

${\displaystyle {\mathfrak {Symp}}(M,\omega )\rightarrow H_{\mathrm {dR} }^{1}(M),X\mapsto i_{X}\omega .}$

• symplectic vector field auf nLab (englisch)

• Dusa McDuff und Dietmar Salamon: Introduction to Symplectic Topology. In: Clarendon Press (Hrsg.): Oxford mathematical monographs, Oxford science publications. 1998, ISBN 0-19-851177-9 (englisch).
• Jean-Luc Brylinski: Loop Spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization. In: Birkhäuser Boston (Hrsg.): Modern Birkhäuser Classics. 2007, ISBN 978-0-8176-4730-8 (englisch).

1. McDuff & Salamon 1998, Seite 83
2. Brylinski 2007, 2.3.1. Proposition
3. McDuff & Salamon 1998, Proposition 3.2