Surjektive Funktion

Es seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Mengen, sowie ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine Abbildung.

Die Abbildung ${\displaystyle f}$ heißt surjektiv, wenn es zu jedem ${\displaystyle y}$ aus ${\displaystyle Y}$ (mindestens) ein ${\displaystyle x}$ aus ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle f(x)=y}$ gibt. Eine solche Abbildung notiert man auch so: ${\displaystyle f\colon X\twoheadrightarrow Y.}$

Formal: ${\displaystyle \forall y\in Y\ \exists x\in X\colon f(x)=y}$ (siehe Existenz- und Allquantor).

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  Das Prinzip der Surjektivität:
  Jeder Punkt in der Zielmenge (Y) wird mindestens einmal getroffen
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  Graphen dreier surjektiver Funktionen zwischen reellen Intervallen
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  Ein Sonderfall der Surjektivität:
  Die Zielmenge (Y) besteht aus nur einem Element

• Die leere Funktion ${\displaystyle \emptyset \to \{\bullet \}}$ in eine einelementige Menge ist wohl das einfachste Beispiel einer nichtsurjektiven Funktion.
• Die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f(x)=2x+1}$ ist surjektiv, denn keine reelle Zahl ${\displaystyle y}$ hat ein leeres Urbild. Aus der Gleichung ${\displaystyle y=2x+1}$ erhält man nämlich durch Äquivalenzumformung die Gleichung ${\displaystyle x=(y-1)/2,}$ womit sich für jedes ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ als Urbild die einelementige Menge ${\displaystyle \{{\tfrac {y-1}{2}}\}\subseteq \mathbb {R} }$ ergibt.
• Die Sinusfunktion ${\displaystyle \sin \colon \mathbb {R} \to [-1,1]}$ ist surjektiv. Jede horizontale Gerade ${\displaystyle y=c}$ mit ${\displaystyle -1\leq c\leq 1}$ schneidet den Graphen der Sinusfunktion mindestens einmal (sogar unendlich oft).
• Die Sinusfunktion ${\displaystyle \sin \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ist jedoch nicht surjektiv, da z. B. die Gerade ${\displaystyle y=2}$ keinen Schnittpunkt mit dem Graphen hat, der Wert 2 also nicht als Funktionswert angenommen wird.
• ${\displaystyle \mathbb {C} }$ bezeichne die Menge der komplexen Zahlen.

${\displaystyle f_{1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ;\,x\mapsto x^{2}} ist nicht surjektiv, da z. B. das Urbild von ${\displaystyle -1}$ die leere Menge ist (keine Quadratzahl ist negativ!).

${\displaystyle f_{2}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\,x\mapsto x^{2}}$ ist surjektiv. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist allgemeiner jedes nichtkonstante Polynom (also jedes Polynom positiven Grades) ${\displaystyle p\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ surjektiv.

• Man beachte, dass die Surjektivität einer Funktion ${\displaystyle f\colon A\to B}$ nicht nur vom Funktionsgraphen ${\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in A\},}$ sondern auch von der Zielmenge ${\displaystyle B}$ abhängt (im Gegensatz zur Injektivität, deren Vorliegen man am Funktionsgraphen ablesen kann):

Ersetzt man bei einer Funktion ${\displaystyle f\colon A\to B;\ x\mapsto f(x)}$ ihre Zielmenge ${\displaystyle B}$ durch ihre Bildmenge ${\displaystyle \operatorname {im} f:=f(A)=\{f(x)\mid x\in A\},}$ so entsteht mit ${\displaystyle g\colon A\to \operatorname {im} f;\ x\mapsto f(x)}$ stets eine surjektive Funktion ${\displaystyle g,}$ während ${\displaystyle f}$ natürlich nicht surjektiv zu sein braucht.

• Eine Funktion ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ist genau dann surjektiv, wenn ${\displaystyle f\left(f^{-1}(Y)\right)=Y}$ gilt für alle ${\displaystyle Y\subset B.}$
• Sind die Funktionen ${\displaystyle f\colon A\to B}$ und ${\displaystyle g\colon B\to C}$ surjektiv, dann gilt dies auch für die Komposition (Verkettung) ${\displaystyle g\circ f\colon A\to C.}$
• Aus der Surjektivität von ${\displaystyle g\circ f}$ folgt, dass ${\displaystyle g}$ surjektiv ist.
• Eine Funktion ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ist genau dann surjektiv, wenn ${\displaystyle f}$ eine Rechtsinverse hat, also eine Funktion ${\displaystyle g\colon B\to A}$ mit ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{B}}$ (wobei ${\displaystyle \operatorname {id} _{B}}$ die identische Abbildung auf ${\displaystyle B}$ bezeichnet). Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom der Mengenlehre.
• Eine Funktion ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ist genau dann surjektiv, wenn ${\displaystyle f}$ rechtskürzbar ist, wenn also für beliebige Funktionen ${\displaystyle g,h\colon B\to C}$ mit ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ schon ${\displaystyle g=h}$ folgt. Diese Eigenschaft motiviert den in der Kategorientheorie verwendeten Begriff Epimorphismus.
• Jede beliebige Funktion ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ist darstellbar als Verkettung ${\displaystyle f=h\circ g,}$ wobei mit ${\displaystyle C:=\{f^{-1}(y)\mid y\in \operatorname {im} f\}}$ die Funktion ${\displaystyle g\colon A\to C;\,x\mapsto f^{-1}(f(x))}$ surjektiv und ${\displaystyle h\colon C\to B;\,f^{-1}(y)\mapsto y}$ injektiv ist.

Für eine endliche Menge ${\displaystyle A}$ ist die Mächtigkeit ${\displaystyle |A|}$ einfach die Anzahl der Elemente von ${\displaystyle A}$. Ist nun ${\displaystyle f\colon A\to B}$ eine surjektive Funktion zwischen endlichen Mengen, dann kann ${\displaystyle B}$ höchstens so viele Elemente wie ${\displaystyle A}$ haben, es gilt also ${\displaystyle |B|\leq |A|.}$

Für unendliche Mengen wird der Größenvergleich von Mächtigkeiten zwar mit Hilfe des Begriffs Injektion definiert, aber auch hier gilt: Ist ${\displaystyle f\colon A\to B}$ surjektiv, dann ist die Mächtigkeit von ${\displaystyle B}$ nicht größer als die Mächtigkeit von ${\displaystyle A,}$ auch hier schreibt man dafür ${\displaystyle |B|\leq |A|.}$

• O. A. Ivanova: Surjection. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).