Supergoldener Schnitt

Verhältnis der Katheten im Supergoldenen Schnitt und Aufteilung der Hypotenuse durch den Höhenfußpunkt im Supergoldenen Schnitt

Mit s als größerem und t als kleinerem Teil sowie ψ als Supergoldenem Schnitt gilt:

${\displaystyle {\biggl (}{\frac {s+t}{s}}{\biggr )}^{2}={\frac {s}{t}}}$

${\displaystyle \psi ={\frac {s+t}{s}}}$

Auf der Grundlage dieser Definition kann folgende Umformung durchgeführt werden:

${\displaystyle {\biggl (}{\frac {s+t}{s}}{\biggr )}^{2}{\frac {t}{s}}=1}$

${\displaystyle {\biggl (}{\frac {s+t}{s}}{\biggr )}^{2}{\biggl (}{\frac {s+t}{s}}-1{\biggr )}=1}$

${\displaystyle \psi ^{2}(\psi -1)=1}$

Der Supergoldene Schnitt ψ erfüllt daher folgende Gleichung:

${\displaystyle \psi ^{3}-\psi ^{2}-1=0}$

Die einzige reelle Lösung dieser kubischen Gleichung ist die Supergoldene Zahl. So lauten zwei Ausdrücke für diese Konstante:

${\displaystyle \psi ={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\operatorname {csch} [{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}})]}$

${\displaystyle \psi ={\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{116+12{\sqrt {93}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{116-12{\sqrt {93}}}}+{\tfrac {1}{3}}}$

Näherungsweise nimmt die Supergoldene Zahl den Wert 1,465571231876768… an. Obwohl im deutschen Sprachraum einst auch die Plastische Zahl mit dem Kürzel ψ ausgedrückt wurde, setzte sich dennoch im englischen Sprachraum das ρ für die Plastische Zahl und das ψ für die Supergoldene Zahl durch. Das Quadrat, der Kubus und der Kehrwert der Supergoldenen Zahl lauten wie folgt:

${\displaystyle \psi ^{2}={\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{188+12{\sqrt {93}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{188-12{\sqrt {93}}}}+{\tfrac {1}{3}}}$

${\displaystyle \psi ^{3}={\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{188+12{\sqrt {93}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{188-12{\sqrt {93}}}}+{\tfrac {4}{3}}}$

${\displaystyle \psi ^{-1}={\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{12}}\left({\sqrt[{3}]{{\sqrt {93}}+9}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {93}}-9}}\right)}$

Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit einem Verhältnis der Katheten im Supergoldenen Schnitt teilt die vom rechten Winkel ausgehende Höhe mit ihrem Fußpunkt die Hypotenuse so auf, dass sich die gesamte Hypotenuse zur längeren Teilseite der Hypotenuse ebenso im Supergoldenen Schnitt verhält. Denn bei allen rechtwinkligen Dreiecken verhalten sich die durch den Höhenfußpunkt auf der Hypotenuse gebildeten Teilseiten der Hypotenuse immer im Quadrat des Verhältnisses der angrenzenden Katheten.

Wenn sich in einem Dreieck die Seite a zur Seite b und die Seite c zur Seite a im Supergoldenen Schnitt verhalten, dann nimmt der Winkel γ den Wert 120° beziehungsweise 2π/3 an. Im Folgenden wird diese Tatsache mit dem Kosinussatz bewiesen:

Dreieck mit Seitenverhältnis des Supergoldenen Schnitts und Winkel 120°

${\displaystyle \cos(\gamma )={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$

${\displaystyle \cos(\gamma )={\frac {1}{2}}{\biggl [}{\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}-{\biggl (}{\frac {c}{a}}{\biggr )}^{2}{\frac {a}{b}}{\biggr ]}}$

${\displaystyle \cos(\gamma )={\frac {1}{2}}(\psi +\psi ^{-1}-\psi ^{3})=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}[\psi +\psi ^{-1}(\psi ^{3}-\psi ^{2})-\psi ^{3}]=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(\psi ^{2}-\psi ^{3})=-{\frac {1}{2}}}$

Daraus folgt: γ = 120° = 2π/3

Für folgende Gleichung aus vollständigen elliptischen Integralen erster Art lässt sich die Lösung vereinfacht mit der Supergoldenen Zahl darstellen:

${\displaystyle K({\sqrt {1-x^{2}}})/K(x)={\sqrt {31}}}$

${\displaystyle x=\lambda ^{*}(31)=\sin[{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\tfrac {1}{8}}\psi ^{-12})]}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}=\lambda ^{*}({\tfrac {1}{31}})=\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\tfrac {1}{8}}\psi ^{-12})]}$

Diese Werte sind die elliptischen Lambda-Funktionswerte von 31 und 1/31. Mit diesen Werten können auch λ*(124) und λ*(4/31) ermittelt werden:

${\displaystyle \lambda ^{*}(124)=\tan[{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {1}{8}}\psi ^{-12})]^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {4}{31}})=\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {1}{8}}\psi ^{-12})]^{2}}$

• Crilly, Tony (1994). "A Supergolden Rectangle". The Mathematical Gazette. 78 (483): 320–325. doi:10.2307/3620208. JSTOR:3620208.
• Crilly, Tony (2007). "Chapter 11–12". In Mansfield, Keith (ed.). 50 mathematical ideas you really need to know. Illustrated by Tony Crilly and Patrick Nugent; proofread by Anna Faherty (13th ed.). London: Quercus. pp. 47–51. ISBN 978-1-84724-147-4.
• Koshy, Thomas (2017). Fibonacci and Lucas Numbers with Applications (2 ed.). John Wiley & Sons. ISBN 9781118742174. Abgerufen am 14. August 2018.
• Sloane, Neil (7 September 2012). "A000930 - OEIS". oeis.org. The OEIS Foundation Inc. p. A000930. Abgerufen am 12. August 2018.