Finaltopologie

Als Finaltopologie bezüglich einer Abbildungsfamilie bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der Topologie die feinste Topologie auf einer Menge $X$ , die diese Familie von Abbildungen aus anderen topologischen Räumen nach $X$ stetig macht. Die Finaltopologie entsteht also durch „Vorwärtsübertragung“ der auf den Urbildräumen vorhandenen topologischen Strukturen auf die Menge $X$ . Dies ist die Anwendung eines allgemeineren Konzepts aus der Kategorientheorie auf topologische Räume, mit der wichtige „natürliche Räume“ wie Quotienten- und Summenräume in einen gemeinsamen Rahmen gestellt werden können. Je nach Kontext spricht man dann auch von Quotiententopologie bzw. Summentopologie.

Definition

Gegeben ist eine Menge $X$ , eine Familie von topologischen Räumen $(Y_{i},T_{i})$ und eine Familie von Abbildungen $f_{i}\colon Y_{i}\to X$ . Eine Topologie $S$ auf $X$ heißt Finaltopologie bezüglich der Familie $(Y_{i},T_{i},f_{i})$ wenn sie eine der folgenden gleichwertigen Eigenschaften hat:

Universelle Eigenschaft der Finaltopologie

$S$ ist die feinste Topologie auf $X$ , bezüglich der alle Abbildungen $f_{i}$ stetig sind.
Eine Teilmenge $O$ von $X$ ist offen (also in $S$ ) genau dann, wenn alle ihre Urbilder $f_{i}^{-1}(O)$ in den jeweiligen Urbildräumen offen sind.
Eine Funktion $g$ von $X$ in einen topologischen Raum $Z$ ist genau dann stetig, wenn $g\circ f_{i}$ stetig ist für jedes $f_{i}$ der Familie.

Bemerkungen

Die drei Formulierungen der Definition beleuchten unterschiedliche Aspekte der Finaltopologie:

Hier wird sie als Infimum gewisser Topologien im Verband aller Topologien auf $X$ angesehen: Durch jede einzelne Abbildung $f_{i}$ wird aus dem Urbildraum $Y_{i}$ eine topologische Struktur $S_{i}$ auf $X$ übertragen und die Finaltopologie $S$ ist der Durchschnitt all dieser Topologien. Mit dieser Definition lässt sich die Existenz der Finaltopologie beweisen.
Diese Definition ist konstruktiv. Mit ihr kann man für beliebige Teilmengen von $X$ entscheiden, ob sie in der Finaltopologie offen sind. Hieraus ergibt sich leicht die Eindeutigkeit dieser Topologie.
Die abstrakte Charakterisierung rechtfertigt die Bezeichnung „Final“-Topologie und gestattet es, diese Strukturen im allgemeineren Rahmen der Kategorientheorie zu betrachten. Die Initialtopologie kann durch die hierzu duale Eigenschaft charakterisiert werden.

Beispiele

Die Quotiententopologie ist die Finaltopologie bezüglich der kanonischen Projektion auf den Quotientenraum.
Der topologische Summenraum einer Familie $X_{i}$ von topologischen Räumen ist die Finaltopologie auf der disjunkten Vereinigungsmenge der Familie bezüglich der kanonischen Inklusionsabbildungen. In diesem Fall nennt man die Finaltopologie auch die Summentopologie.
Die Kombination der Summen- und Quotientenraumbildung, also das „Verkleben“ mehrerer topologischer Räume, kann mit der Finaltopologie in einem Schritt vorgenommen werden.

Literatur

Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2. neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1979, ISBN 3-540-09799-6 (Hochschultext).

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