Substitutionsprinzip (Statistik)

Gegeben sei eine Menge ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ von Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen. Seien die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{N}}$ unabhängig identisch verteilt gemäß einem ${\displaystyle P_{0}\in {\mathcal {P}}}$ und sei ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})}$.

Geschätzt werden soll ein Funktional

${\displaystyle q\colon {\mathcal {P}}\to \mathbb {R} }$

von der Form

${\displaystyle q(P)=\int _{\mathbb {R} }f(x)\mathrm {d} P}$.

Dann ist

${\displaystyle {\hat {q}}(X)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(X_{i})}$

eine mögliche Schätzfunktion für ${\displaystyle q}$

Ein Beispiel des Substitutionsprinzips ist die Momentenmethode. Soll das ${\displaystyle n}$-te Moment geschätzt werden, so ist das zu schätzende Funktional von der Form

${\displaystyle q(P)=\int _{\mathbb {R} }x^{n}\mathrm {d} P}$,

es ist also ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$. Das Substitutionsprinzip liefert somit den Schätzer

${\displaystyle {\hat {q}}(X)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{n}}$.

Dasselbe Vorgehen für eine zu schätzende Funktion ${\displaystyle f=f(x,x^{2},\dots ,x^{n})}$ liefert somit die Momentenmethode.

Die obige Version lässt sich noch allgemeiner fassen, wodurch auch die Namensgebung klarer wird. Gegeben sei wieder eine Menge von Wahrscheinlichkeitsverteilungen ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ sowie ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{N}}$ unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen gemäß einem ${\displaystyle P_{0}\in {\mathcal {P}}}$ und sei ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})}$. Zu schätzen ist ein Funktional

${\displaystyle q\colon {\mathcal {P}}\to \mathbb {R} }$.

Anstatt das Funktional nun direkt zu schätzen, wird zuerst ein Schätzer

${\displaystyle {\hat {P}}_{N}=p_{N}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})}$

für ${\displaystyle P}$ herangezogen. Hierbei ist ${\displaystyle p_{N}}$ eine passend gewählte messbare Funktion. Nun wird das Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ durch die entsprechende Schätzung mittels ${\displaystyle {\hat {P}}_{N}}$ substituiert und die so gewonnene Funktion ${\displaystyle q({\hat {P}}_{N})}$ als Schätzfunktion verwendet. Im obigen Spezialfall wird beispielsweise die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den reellen Zahlen durch die empirische Verteilung substituiert.

• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 72–77, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.
• Hein Putter, Willem R. van Zweet: Resampling: consistency of substitution estimators. In: Project euklid. 2002, abgerufen am 28. Februar 2017.