Subquotient

Ist ${\displaystyle G}$ eine Gruppe, ${\displaystyle G'}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle G''}$ ein Normalteiler von ${\displaystyle G'}$, in Zeichen

${\displaystyle G\geq G'\vartriangleright G'',}$

dann nennt man die Faktorgruppe (Quotientengruppe) ${\displaystyle H:=G'/G''}$ einen Subquotienten von ${\displaystyle G}$.

In der Literatur über sporadische Gruppen finden sich Formulierungen wie

1. ${\displaystyle G}$ involviert ${\displaystyle H}$[1]
2. ${\displaystyle H}$ ist involviert in ${\displaystyle G}$[2]

für denselben Sachverhalt.

Sei ${\displaystyle R}$ ein Ring mit Einselement. Bei den ${\displaystyle R}$-Moduln gibt es ${\displaystyle R}$-Untermoduln und ${\displaystyle R}$-Quotientenmoduln (Faktormoduln). Ganz analog wie bei den Gruppen sind die ${\displaystyle R}$-Subquotienten definiert.

Die Begriffsbildung gilt auch bei nicht-kommutativem Ring und links/rechts-seitigen Moduln über diesem Ring.

${\displaystyle G/\{1\}}$ ist Subquotient von ${\displaystyle G}$.

Sind zwei Objekte Subquotienten voneinander, so sind sie isomorph.

Beweis

Die Wechselbeziehung zwischen ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ lässt sich wegen ${\displaystyle |H|\leq |G|\leq |H|}$, also ${\displaystyle |H|=|G|}$, nur aufrechterhalten mit ${\displaystyle [G:G']=1,[G'':1]=1}$ und ${\displaystyle [H:H']=1,[H'':1]=1}$, woraus ${\displaystyle G\cong H}$ folgt.

Subquotienten von Subquotienten sind Subquotienten.

Beweis für Gruppen

Sei ${\displaystyle H:=G'/G''}$ Subquotient von ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle \varphi \colon G'\to H}$ der kanonische Homomorphismus. Ist nun ${\displaystyle H\geq H'\vartriangleright H'',}$ also ${\displaystyle H'/H''}$ Subquotient von ${\displaystyle H,}$ dann sind die durch senkrechte Pfeile (${\displaystyle \downarrow }$) gekennzeichneten Abbildungen ${\displaystyle \varphi \!:X\to Y,\;x\mapsto x\,G''}$

${\displaystyle G}$	${\displaystyle \geq }$	${\displaystyle G'}$	${\displaystyle \geq }$	${\displaystyle \varphi ^{-1}(H')}$	${\displaystyle \geq }$	${\displaystyle \varphi ^{-1}(H'')}$	${\displaystyle \vartriangleright }$	${\displaystyle G''}$
	${\displaystyle \varphi \!:}$	${\displaystyle {\Big \downarrow }}$		${\displaystyle {\Big \downarrow }}$		${\displaystyle {\Big \downarrow }}$		${\displaystyle {\Big \downarrow }}$
		${\displaystyle H}$	${\displaystyle \geq }$	${\displaystyle H'}$	${\displaystyle \vartriangleright }$	${\displaystyle H''}$	${\displaystyle \vartriangleright }$	${\displaystyle \{1\}}$

surjektiv für jedes der Paare

${\displaystyle (X,Y)\;\;\;\in }$

${\displaystyle {\Bigl \{}{\bigl (}G',H{\bigr )}{\Bigr .}}$

${\displaystyle ,}$

${\displaystyle {\bigl (}\varphi ^{-1}(H'),H'{\bigr )}}$

${\displaystyle ,}$

${\displaystyle {\bigl (}\varphi ^{-1}(H''),H''{\bigr )}}$

${\displaystyle ,}$

${\displaystyle {\Bigl .}{\bigl (}G'',\{1\}{\bigr )}{\Bigr \}}.}$

Nun sind die Urbilder ${\displaystyle \varphi ^{-1}(H')}$ und ${\displaystyle \varphi ^{-1}(H'')}$ Untergruppen von ${\displaystyle G',}$ die ${\displaystyle G''}$ enthalten. Ferner ist ${\displaystyle \varphi (\varphi ^{-1}(H'))=H'}$ und ${\displaystyle \varphi (\varphi ^{-1}(H''))=H'',}$ da alle ${\displaystyle h\in H}$ ein Urbild in ${\displaystyle G'}$ haben. Überdies ist ${\displaystyle \varphi ^{-1}(H'')}$ ein Normalteiler von ${\displaystyle \varphi ^{-1}(H').}$ Damit ist der Subquotient ${\displaystyle H'/H''}$ von ${\displaystyle H}$ als ${\displaystyle H'/H''\cong \varphi ^{-1}(H')/\varphi ^{-1}(H'')}$ ein Subquotient von ${\displaystyle G.}$[3]

Die Ordnungsrelation »ist Subquotient von« ist bei endlichen Gruppen eine diskrete Ordnung, d. h. die von ihr erzeugte Ordnungstopologie ist eine diskrete Topologie. In Formeln und mit ${\displaystyle \preceq }$ und ${\displaystyle \prec }$ als Relationszeichen:

Ist ${\displaystyle I\prec G,}$ dann gibt es ein ${\displaystyle H\prec G}$ mit ${\displaystyle I\preceq H}$ derart, dass ${\displaystyle H\preceq H'\prec G\implies H'=H.}$

Ein solches ${\displaystyle H}$ nennt man einen maximalen echten Subquotienten von ${\displaystyle G}$. Der Begriff wird bspw. bei der Anordnung der sporadischen Gruppen im Hasse-Diagramm benötigt.