Stromlinie

• Stromlinien können keinen Knick haben und sich auch nicht schneiden, da in einem Punkt nicht zugleich zwei verschiedene Strömungsgeschwindigkeiten herrschen können.
• Eine Kontraktion (Zusammenrücken) der Stromlinien bedeutet im Unterschall eine Beschleunigung der Strömung, im Überschall jedoch eine Verzögerung.
• Divergierende Stromlinien zeigen im Unterschall eine Verzögerung der Strömung, im Überschall jedoch eine Beschleunigung.
• Bei gekrümmten Stromlinien nimmt der Druck in zentrifugaler Richtung zu.
• Bei geradlinigen, parallelen Stromlinien gibt es keine Druckänderung quer zur Stromlinie.
• Orthogonal zu Stromlinien verlaufen die Linien konstanten Potentials.

Sei ${\displaystyle {\underline {u}}({\underline {x}},t)={\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}}$ mit ${\displaystyle {\underline {x}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}}$ ein dreidimensionales Strömungsfeld.

Die Stromlinien sind Kurven, die in jedem Punkt tangential zum momentanen Geschwindigkeitsfeld verlaufen. Es gilt also

${\displaystyle \mathrm {d} {\underline {x}}\times {\underline {u}}\equiv 0}$ bzw.

in parameterfreier Darstellung

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{u}}={\frac {\mathrm {d} y}{v}}={\frac {\mathrm {d} z}{w}}}$

Die allgemeine parametrisierte Darstellung einer Stromlinie als Kurve entspricht ${\displaystyle {\underline {x}}({\underline {x_{0}}},s,t)}$, hierbei ist ${\displaystyle {\underline {x_{0}}}}$ ein beliebiger Startpunkt auf der Stromlinie, ${\displaystyle s}$ der Kurven- und ${\displaystyle t}$ der Schar-Parameter. Wird eine explizite Stromlinie zu einem bestimmten Zeitpunkt ${\displaystyle T}$ betrachtet, wird dieser eingesetzt und somit ist die Kurve vollständig durch den Parameter ${\displaystyle s}$ beschrieben.

Der Tangenten-Einheitsvektor ${\displaystyle {\underline {\tau }}}$ der Kurve entspricht gerade:

${\displaystyle {\underline {\tau }}={\frac {\mathrm {d} {\underline {x}}}{|\mathrm {d} {\underline {x}}|}}={\frac {\mathrm {d} {\underline {x}}}{\mathrm {d} s}}}$.

Betrachtet man zudem die Geschwindigkeit ${\displaystyle {\underline {u}}({\underline {x}},t)}$ auf allen Punkten der Stromlinie zu dem gewählten Zeitpunkt ${\displaystyle {T}}$, so erkennt man, dass der normierte Vektor der Geschwindigkeit

${\displaystyle {\frac {\mathrm {\underline {u}} }{|{\underline {u}}|}}={\underline {\tau }}}$

ist.

Setzt man nun diese beiden Ausdrücke für den Tangenten-Einheitsvektor gleich, folgt:

${\displaystyle {\underline {\tau }}={\frac {\underline {u}}{|{\underline {u}}|}}={\frac {\mathrm {d} {\underline {x}}}{|\mathrm {d} {\underline {x}}|}}={\frac {\mathrm {d} {\underline {x}}}{\mathrm {d} s}}}$

und somit:

${\displaystyle {\frac {\underline {u}}{|{\underline {u}}|}}={\frac {\mathrm {d} {\underline {x}}}{\mathrm {d} s}}}$

oder auch in Tensornotation:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {x_{i}}}{\mathrm {d} s}}={\frac {u_{i}}{|{\sqrt {u_{k}u_{k}}}|}}}$.

Diese vektorielle Gleichung führt auf drei skalare Gleichungen:

1. ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} s}}={\frac {u_{1}}{\sqrt {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}}}}$
2. ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x_{2}}{\mathrm {d} s}}={\frac {u_{2}}{\sqrt {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}}}}$
3. ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x_{3}}{\mathrm {d} s}}={\frac {u_{3}}{\sqrt {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}}}}$

Dividiert man nun die Gleichungen durch einander, so ergibt sich die Form:

(1)/(2): ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} x_{2}}}={\frac {u_{1}}{u_{2}}}}$

(2)/(3): ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x_{2}}{\mathrm {d} x_{3}}}={\frac {u_{2}}{u_{3}}}}$

(3)/(1): ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x_{3}}{\mathrm {d} x_{1}}}={\frac {u_{3}}{u_{1}}}}$

Durch einfaches Umformen findet man somit die im Abschnitt Berechnung angegebene Form.

Zur Erzeugung einer gekrümmten Stromlinie in einer stationären Strömung, muss eine entsprechende Zentripetalkraft vorhanden sein. Diese kommt durch einen Druckgradienten senkrecht zur Stromlinie (d. h. in radialer Richtung) zustande. Der Betrag dieses radialen Druckgradienten ist von der Strömungsgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$, der Dichte ${\displaystyle \rho }$ des Fluids und dem Krümmungsradius ${\displaystyle r_{K}}$ der Stromlinie abhängig[3]:

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial r}}={\frac {\rho \cdot c^{2}}{r_{K}}}}$

Der Druck senkrecht zu einer gekrümmten Stromlinie nimmt in radialer Richtung folglich zu.

• Stromlinienform
• Stromfaden
• Stromlinienfahrzeug

1. D. Andersen, S. Eberhardt: A Physical Description of Flight; Revisited. (pdf; 483 kB) www.allstar.fiu.edu, 2009, abgerufen am 29. Juli 2017 (englisch).
2. Prandtl-Führer durch die Strömungslehre, 10. Auflage S. 40
3. tec-science: Bewegungsgleichung eines Fluids auf einer Stromlinie. In: tec-science. 22. April 2020, abgerufen am 7. Mai 2020 (deutsch).