Stratonowitsch-Integral

Das Stratonowitsch-Integral (auch Fisk-Stratonowitsch-Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff und eine Alternative für das Itō-Integral. Beide Integrale lassen sich ineinander transformieren. Im Unterschied zu dem Itō-Integral, wo man für die Konstruktion nur den linken Endpunkt des Zerlegungsintervalls benötigt

\sum Y_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}),

nützt man beim Stratonowitsch-Integral das arithmetische Mittel des linken und rechten Endpunktes

\sum {\tfrac {1}{2}}(Y_{t_{i}}+Y_{t_{i-1}})(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).

Der Vorteil des Stratonowitsch-Integrals gegenüber dem Itō-Integral ist, dass die Itō-Formel nur Differentiale erster Ordnung besitzt.

Das Fisk-Stratonowitsch-Integral ist nach Ruslan Stratonowitsch und Donald Fisk benannt.

Stratonowitsch-Integral

Seien $X$ und $Y$ Semimartingale definiert auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0})$ und $t\geq 0$ . Dann ist das Stratonowitsch-Integral von $Y$ bezüglich $X$ definiert als[1]

{\begin{aligned}\int _{0}^{t}Y_{s-}\circ dX_{s}:&=\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}-{\tfrac {1}{2}}\sum \limits _{s\leq t}\Delta Y_{s}\Delta X_{s}\\&=\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}^{c}.\end{aligned}}

Hier ist $\textstyle \int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}$ das Itō-Integral und $[X,Y]_{t}^{c}$ der stetige Teil der optionalen quadratischen Kovariation. Ferner sind die $\Delta Y_{s}=Y_{s}-Y_{s-}$ die Sprungstellen des Prozesses.

Für stetige Semimartingale

Wenn $X$ und $Y$ stetige Semimartingale sind, dann ist

{\begin{aligned}\int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}:&=\int _{0}^{t}Y_{s}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}\\&=(Y\cdot X)_{t}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t},\end{aligned}}

oder in Differentialschreibweise

Y_{t}\circ dX_{t}:=Y_{t}dX_{t}+{\tfrac {1}{2}}d[Y,X]_{t}.

Erläuterungen

Die Definition des Stratonowitsch-Integrales lässt sich verallgemeinern, so dass $Y$ nicht mehr ein Semimartingal ist, sondern lediglich adaptiert und càdlàg.

Herleitung

Das Stratonowitsch-Integral erhält man, wenn man das arithmetische Mittel des linken und rechten Endpunktes des Zerlegungsintervall nimmt. Sei $\Delta$ eine Partition von $[0,t]$ und $X,Y$ stetige Semimartingale. Dann gilt

{\begin{aligned}\int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}=\lim \limits _{|\Delta |\to 0}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {Y_{t_{i}}+Y_{t_{i-1}}}{2}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).\end{aligned}}

Beziehung zwischen dem Itō- und Stratonowitsch-Integral

Es gilt folgende Beziehung zwischen den beiden Integralbegriffen

\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}=\int _{0}^{t}Y_{s-}\circ dX_{s}-{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}^{c}.

Wenn $X$ und $Y$ stetige Semimartingale sind, dann gilt

(Y\cdot X)_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}-{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}.

Itō-Formeln

Sei $X=(X^{1},\dots ,X^{n})$ ein $\mathbb {R} ^{n}$ -Semimartingal und $f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$ , dann ist $f(X)$ ein Semimartingal und es gilt[2]

f(X_{t})-f(X_{0})=\sum \limits _{i=1}^{n}\int _{0+}^{t}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s-})\circ dX_{s}^{i}+\sum \limits _{0<s\leq t}\left(f(X_{s})-f(X_{s-})-\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s-})\Delta X_{s}^{i}\right).

Für stetige Semimartingale

Sei $X=(X^{1},\dots ,X^{n})$ ein stetiges $\mathbb {R} ^{n}$ -Semimartingal und $f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$ , dann ist $f(X)$ ein Semimartingal und es gilt

f(X_{t})-f(X_{0})=\sum \limits _{i=1}^{n}\int _{0}^{t}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s})\circ dX_{s}^{i}.

Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung für Semimartingale mit Sprüngen ist das Marcus-Integral, welches man durch Umschreiben des Sprung-Terms erhält.

Das Ogawa-Integral verallgemeinert das Stratonowitsch-Integral.

Literatur

Wolfgang Hackenbroch und Anton Thalmaier: Stochastische Analysis: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale. Hrsg.: Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden. ISBN 978-3-519-02229-9, S. 349–544.
Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4.
Bernt K. Øksendal, Bernt K.: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Hrsg.: Springer, Berlin. 2003, ISBN 3-540-04758-1.

Einzelnachweise

Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 82.
Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 277–278.

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[Protter-1] Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 82.

[2] Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 277–278.