Stieltjes-Konstanten

Die Stieltjes-Konstanten ${\displaystyle \gamma _{n}}$ sind eine Folge reeller Zahlen, die durch den Grenzwert

${\displaystyle \gamma _{n}:=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {(\log k)^{n}}{k}}-{\frac {(\log N)^{n+1}}{n+1}}\right),\quad n=0,1,2,\dotsc }$

definiert sind, wobei ${\displaystyle \gamma _{0}}$ die Eulersche Konstante ${\displaystyle \gamma }$ ist. Es wird vermutet, dass die ${\displaystyle \gamma _{n}}$ irrational sind. Ein Beweis dafür konnte bislang nicht erbracht werden. Aufgrund ihrer Definition werden sie gelegentlich auch als verallgemeinerte Eulersche Konstanten bezeichnet. Sie treten in der Laurent-Entwicklung der Riemannschen Zetafunktion

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\gamma _{n}}{n!}}(s-1)^{n}}$

und bei der Auswertung gewisser bestimmter Integrale auf:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {(\log x)^{2}}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x=(\log 2)\,{\big (}{\frac {1}{3}}(\log 2)^{2}+\zeta (2)-\gamma ^{2}-2\gamma _{1}{\big )}=1{,}121192486\dots }$

Sie hängen eng mit den Zahlen

${\displaystyle \tau _{n}:=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(\log k)^{n}}{k}},\quad n=0,1,2,\dotsc }$

zusammen. Diese lassen sich numerisch gut über eine Konvergenzbeschleunigung (fortgesetzte Mittelung) berechnen. Es gilt die Rekursion

${\displaystyle \tau _{0}=\log 2}$

${\displaystyle \tau _{n}={\frac {(\log 2)^{n+1}}{n+1}}-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}(\log 2)^{n-k}\cdot \gamma _{k},\qquad n=1,2,\dotsc }$

und die explizite Darstellung mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen:

${\displaystyle \gamma _{n}=-{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}B_{n+1-k}(\log 2)^{n-k}\cdot \tau _{k},\quad n=0,1,2,\dotsc }$

Aus der Rekursion ergibt sich für ${\displaystyle n=1}$ die Identität ${\displaystyle \tau _{1}={\tfrac {1}{2}}(\log 2)^{2}-\gamma \log 2}$, d. h. für die eulersche Konstante die alternierende Reihe

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}\log 2+{\frac {1}{\log 2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log k}{k}}={\frac {1}{2}}\log 2+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log _{2}k}{k}},}$

die der Reihe von Vacca sehr ähnlich ist.

Die Folge ${\displaystyle \gamma _{n}}$ zeigt ein oszillierendes Verhalten mit asymptotisch langsam gegen 0 sinkender „Frequenz“. Bekannt ist, dass gilt:

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |\gamma _{n}|}{n}}=\ln \ln n}$