Stetiger Funktionalkalkül

In der Mathematik, insbesondere in der Operatortheorie und der Theorie der C*-Algebren, ermöglicht der stetige Funktionalkalkül die Anwendung einer stetigen Funktion auf normale Elemente einer C*-Algebra.

In der fortgeschrittenen Theorie sind die Anwendungen dieses Funktionalkalküls so selbstverständlich, dass sie oft nicht einmal erwähnt werden. Man kann ohne Übertreibung sagen, dass der stetige Funktionalkalkül, den Unterschied zwischen C*-Algebren und allgemeinen Banachalgebren, in denen man lediglich einen holomorphen Funktionalkalkül hat, ausmacht.

Motivation

Will man den natürlichen Funktionalkalkül für Polynome auf dem Spektrum $\sigma (a)$ eines Elements $a$ einer Banachalgebra ${\mathcal {A}}$ zu einem Funktionalkalkül für stetige Funktionen $C(\sigma (a))$ auf dem Spektrum erweitern, so liegt es nahe, eine stetige Funktion gemäß dem Satz von Stone-Weierstraß durch Polynome zu approximieren, das Element in diese Polynome einzusetzen und zu zeigen, dass diese Folge von Elementen in ${\mathcal {A}}$ konvergiert. Die stetigen Funktionen auf $\sigma (a)\subset \mathbb {C}$ werden von Polynomen in $z$ und ${\overline {z}}$ approximiert, das heißt von Polynomen der Form ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$ . Dabei bezeichnet ${\overline {z}}$ die komplexe Konjugation, welche eine Involution auf den komplexen Zahlen ist. Damit man nun $a$ an Stelle von $z$ in ein solches Polynom einsetzen kann, betrachtet man Banach-*-Algebren, also Banachalgebren, die ebenfalls eine Involution * haben, und setzt $a^{*}$ an die Stelle von ${\overline {z}}$ . Um einen Homomorphismus ${\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]\rightarrow {\mathcal {A}}$ zu erhalten, muss man sich auf normale Elemente einschränken, also Elemente mit $a^{*}a=aa^{*}$ , da der Polynomring $\mathbb {C} [z,{\overline {z}}]$ kommutativ ist. Ist nun $(p_{n}(z,{\overline {z}}))_{n}$ eine Folge von Polynomen, die auf $\sigma (a)$ gleichmäßig gegen eine stetige Funktion $f$ konvergiert, so ist noch die Konvergenz der Folge $(p_{n}(a,a^{*}))_{n}$ in ${\mathcal {A}}$ gegen ein Element $f(a)$ sicherzustellen. Eine eingehende Analyse dieses Konvergenzproblems zeigt, dass man sich auf C*-Algebren zurückziehen muss. Diese Überlegungen führen zum sogenannten stetigen Funktionalkalkül.

Der stetige Funktionalkalkül

Satz (Stetiger Funktionalkalkül).: Sei $a$ ein normales Element der C*-Algebra ${\mathcal {A}}$ mit Einselement $e$ und sei $C(\sigma (a))$ die kommutative C*-Algebra der stetigen Funktionen auf $\sigma (a)$ , dem Spektrum von $a$ . Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus $\Phi _{a}\colon C(\sigma (a))\rightarrow {\mathcal {A}}$ mit $\Phi _{a}({\boldsymbol {1}})=e$ für ${\boldsymbol {1}}(z)=1$ und $\Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})=a$ für die Identität.

Die Abbildung $\Phi _{a}$ heißt der stetige Funktionalkalkül zum normalen Element $a$ . Üblicherweise setzt man suggestiv $f(a):=\Phi _{a}(f)$ .

Durch die *-Homomorphie-Eigenschaft gelten für alle Funktionen $f,g\in C(\sigma (a))$ und Skalare $\lambda ,\mu \in \mathbb {C}$ die folgenden Rechenregeln:

$(\lambda f+\mu g)(a)=\lambda f(a)+\mu g(a)\qquad$	(linear)
$(f\cdot g)(a)=f(a)\cdot g(a)$	(multiplikativ)
${\overline {f}}(a)=\colon \;(f^{})(a)=(f(a))^{}$	(involutiv)

Man kann sich also vorstellen, die normalen Elemente tatsächlich in stetige Funktionen einzusetzen; die naheliegenden algebraischen Operationen verhalten sich wie erwartet.

Die Forderung nach einem Einselement ist keine wesentliche Einschränkung. Man kann nötigenfalls ein Einselement adjungieren und in der so vergrößerten C*-Algebra ${\mathcal {A}}_{1}$ arbeiten. Ist dann $a\in {\mathcal {A}}$ und $f\in C(\sigma (a))$ mit $f(0)=0$ , so gilt $0\in \sigma (a)$ und $f(a)\in {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {A}}_{1}$ .

Die Existenz und die Eindeutigkeit des stetigen Funktionalkalküls beweist man getrennt:

Existenz: Da das Spektrum von $a$ in der von $a$ und $e$ erzeugten C*-Unteralgebra $C^{*}(a,e)$ dasselbe ist, wie in ${\mathcal {A}}$ genügt es die Aussage für ${\mathcal {A}}=C^{*}(a,e)$ zu zeigen. Die eigentliche Konstruktion des stetigen Funktionalkalküls erfolgt anschließend unter Verwendung der Inversen Gelfand-Transformation.

Eindeutigkeit: Da $\Phi _{a}({\boldsymbol {1}})$ und $\Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})$ festgelegt sind ist $\Phi _{a}$ bereits für alle Polynome ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$ eindeutig festgelegt, da $\Phi _{a}$ ein *-Homomorphismus ist. Diese bilden nach dem Satz von Stone-Weierstraß eine dichte Unteralgebra von $C(\sigma (a))$ . Damit ist $\Phi _{a}$ insgesamt eindeutig.

In der Funktionalanalysis ist man häufig am stetigen Funktionalkalkül für einen normale Operatoren $T$ interessiert, das heißt an dem Fall, dass ${\mathcal {A}}$ die C*-Algebra ${\mathcal {B}}(H)$ der beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum $H$ ist. Häufig wird in der Literatur der stetige Funktionalkalkül in diesem Setting sogar nur für selbstadjungierte Operatoren bewiesen. Der Beweis kommt in diesem Fall ohne die Gelfand-Transformation aus.[1]

Weitere Eigenschaften des stetigen Funktionalkalküls

Der stetige Funktionalkalkül $\Phi _{a}$ ist ein isometrischer Isomorphismus auf die von $a$ und $e$ erzeugte C*-Unteralgebra $C^{*}(a,e)$ , das heißt:

$\left\|\Phi _{a}(f)\right\|=\left\|f\right\|_{\sigma (a)}$ für alle $f\in C(\sigma (a))$ ; $\Phi _{a}$ ist somit stetig.
$\Phi _{a}\left(C(\sigma (a))\right)=C^{*}(a,e)\subseteq {\mathcal {A}}$

Da $a$ ein normales Element von ${\mathcal {A}}$ ist, ist die von $a$ und $e$ erzeugte C*-Unteralgebra kommutativ. Insbesondere ist $f(a)$ normal und alle Elemente eines Funktionalkalküls kommutieren.

Der holomorphe Funktionalkalkül wird vom stetigen Funktionalkalkül in eindeutiger Weise fortgesetzt.[2] Daher stimmt für Polynome $p(z,{\overline {z}})$ der stetige Funktionalkalkül mit dem natürlichen Funktionalkalkül für Polynome überein: ${\textstyle \Phi _{a}(p(z,{\overline {z}}))=p(a,a^{*})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}a^{k}(a^{*})^{l}}$ für alle ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}}$ mit $c_{k,l}\in \mathbb {C}$ .

Für eine Folge von Funktionen $f_{n}\in C(\sigma (a))$ , die auf $\sigma (a)$ gleichmäßig gegen eine Funktion $f\in C(\sigma (a))$ konvergiert, konvergiert $f_{n}(a)$ gegen $f(a)$ .[3] Für eine Potenzreihe ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$ , die auf $\sigma (a)$ absolut gleichmäßig konvergiert, gilt daher ${\textstyle f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}a^{n}}$ .[4]

Sind $f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$ und $g\in {\mathcal {C}}(\sigma (f(a)))$ , so gilt für deren Komposition $(g\circ f)(a)=g(f(a))$ . Sind $a,b\in {\mathcal {A}}_{N}$ zwei normale Elemente mit $f(a)=f(b)$ und ist $g$ sowohl auf $\sigma (a)$ als auch $\sigma (b)$ die Umkehrfunktion von $f$ , so ist bereits $a=b$ , da $a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b$ .

Es gilt der spektrale Abbildungssatz: $\sigma (f(a))=f(\sigma (a))$ für alle $f\in C(\sigma (a))$ .

Gilt $ab=ba$ für $b\in {\mathcal {A}}$ , so gilt auch $f(a)b=bf(a)$ für alle $f\in C(\sigma (a))$ , das heißt wenn $b$ mit $a$ kommutiert, dann auch mit den zugehörigen Elementen des stetigen Funktionalkalküls $f(a)$ .

Sei $\Psi \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ein unitärer *-Homomorphismus zwischen C*-Algebren ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ . Dann kommutiert $\Psi$ mit dem stetigen Funktionalkalkül. Es gilt: $\Psi (f(a))=f(\Psi (a))$ für alle $f\in C(\sigma (a))$ . Insbesondere kommutiert der stetige Funktionalkalkül mit der Gelfand-Transformation.

Mit dem spektralen Abbildungssatz lassen sich Funktionen mit bestimmten Eigenschaften direkt mit bestimmten Eigenschaften von Elementen von C*-Algebren in Verbindung bringen:

$f(a)$ ist genau dann invertierbar, wenn $f$ auf $\sigma (a)$ keine Nullstelle hat.[5] Dann ist ${\textstyle f(a)^{-1}={\tfrac {1}{f}}(a)}$ .[6]
$f(a)$ ist genau dann selbstadjungiert, wenn $f$ reellwertig, also $f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {R}$ ist.
$f(a)$ ist genau dann positiv ( $f(a)\geq 0$ ), wenn $f\geq 0$ , also $f(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )$ ist.
$f(a)$ ist genau dann unitär, wenn alle Werte von $f$ in der Kreisgruppe liegen, also $f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}$ ist.
$f(a)$ ist genau dann eine Projektion, wenn $f$ nur die Werte $0$ und $1$ annimmt, also $f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}$ ist.

Diese gehen auf Aussagen über das Spektrum bestimmter Elemente zurück, welche im Abschnitt Anwendungen dargestellt sind.

Im speziellen Fall, dass ${\mathcal {A}}$ die C*-Algebra der beschränkten Operatoren ${\mathcal {B}}(H)$ für einen Hilbertraum $H$ ist, sind Eigenvektoren $v\in H$ zum Eigenwert $\lambda \in \sigma (T)$ eines normalen Operators $T\in {\mathcal {B}}(H)$ auch Eigenvektoren zum Eigenwert $f(\lambda )\in \sigma (f(T))$ des Operators $f(T)$ . Gilt also $Tv=\lambda v$ , so gilt auch $f(T)v=f(\lambda )v$ für alle $f\in \sigma (T)$ .[7]

Anwendungen

Die folgenden Anwendungen sind typische und sehr einfache Beispiele der zahlreichen Anwendungen des stetigen Funktionalkalküls:

Spektrum

Sei ${\mathcal {A}}$ eine C*-Algebra und $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ ein normales Element. Dann gilt für das Spektrum $\sigma (a)$ :

$a$ ist genau dann selbstadjungiert, wenn $\sigma (a)\subseteq \mathbb {R}$ .
$a$ ist genau dann unitär, wenn $\sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}$ .
$a$ ist genau dann eine Projektion, wenn $\sigma (a)\subseteq \{0,1\}$ .

Beweis. Der stetige Funktionalkalkül $\Phi _{a}$ zum normalen Element $a\in {\mathcal {A}}$ ist ein *-Homomorphismus mit $\Phi _{a}(\operatorname {Id} )=a$ und somit ist $a$ selbstadjungiert/unitär/eine Projektion, wenn $\operatorname {Id} \in C(\sigma (a))$ ebenfalls selbstadjungiert/unitär/eine Projektion ist. Genau dann ist $\operatorname {Id}$ selbstadjungiert, wenn $z={\text{Id}}(z)={\overline {\text{Id}}}(z)={\overline {z}}$ für alle $z\in \sigma (a)$ gilt, also wenn $\sigma (a)$ reell ist. Genau dann ist ${\text{Id}}$ unitär, wenn $1={\text{Id}}(z){\overline {\operatorname {Id} }}(z)=z{\overline {z}}=|z|^{2}$ für alle $z\in \sigma (a)$ gilt, also $\sigma (a)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} \ |\ \left\|\lambda \right\|=1\}$ . Genau dann ist ${\text{Id}}$ eine Projektion, wenn $(\operatorname {Id} (z))^{2}=\operatorname {Id} }(z)={\overline {\operatorname {Id} (z)}$ , d. h. $z^{2}=z={\overline {z}}$ für alle $z\in \sigma (a)$ , also $\sigma (a)\subseteq \{0,1\}$ .

Wurzeln

Sei $a$ ein positives Element einer C*-Algebra ${\mathcal {A}}$ . Dann existiert für jedes $n\in \mathbb {N}$ ein eindeutig bestimmtes positives Element $b\in {\mathcal {A}}_{+}$ mit $b^{n}=a$ , das heißt eine eindeutige $n$ -te Wurzel.

Beweis. Für jedes $n\in \mathbb {N}$ ist die Wurzelfunktion $f_{n}\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}$ eine stetige Funktion auf $\sigma (a)\subseteq \mathbb {R} _{0}^{+}$ . Sei $b\;\colon =f_{n}(a)$ mittels stetigem Funktionalkalkül definiert, dann folgt aus den Eigenschaften des Kalküls $b^{n}=(f_{n}(a))^{n}=(f_{n}^{n})(a)=\operatorname {Id} _{\sigma (a)}(a)=a$ . Aus dem spektralen Abbildungssatz folgt $\sigma (b)=\sigma (f_{n}(a))=f_{n}(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )$ , das heißt $b$ ist positiv. Sei $c\in {\mathcal {A}}_{+}$ ein weiteres positives Element mit $c^{n}=a=b^{n}$ , so gilt $c=f_{n}(c^{n})=f_{n}(b^{n})=b$ , da die Wurzelfunktion auf den positiven reellen Zahlen eine Umkehrfunktion zur Funktion $z\mapsto z^{n}$ ist.

Ist $a\in {\mathcal {A}}_{sa}$ ein selbstadjungiertes Element, dann existiert zumindest für jedes ungerade $n\in \mathbb {N}$ ein eindeutig bestimmtes selbstadjungiertes Element $b\in {\mathcal {A}}_{sa}$ mit $b^{n}=a$ .[8]

Ebenso definiert für ein positives Element $a$ einer C*-Algebra ${\mathcal {A}}$ jedes $\alpha \geq 0$ ein eindeutig bestimmtes positives Element $a^{\alpha }$ von $C^{*}(a)$ , sodass $a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }$ für alle $\alpha ,\beta \geq 0$ gilt. Falls $a$ invertierbar ist, lässt sich dies auch auf negative Werte von $\alpha$ fortsetzen.

Betrag

Sei $a\in {\mathcal {A}}$ , dann ist das Element $a^{*}a$ positiv, sodass der Betrag durch den stetigen Funktionalkalkül definiert werden kann $|a|={\sqrt {a^{*}a}}$ , da dieser auf den positiven reellen Zahlen stetig ist.[9]

Sei $a$ ein selbstadjungiertes Element einer C*-Algebra ${\mathcal {A}}$ , dann existieren positive Elemente $a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}$ , sodass $a=a_{+}-a_{-}$ mit $a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0$ gilt. Man bezeichnet $a_{+}$ und $a_{-}$ auch als Positiv- und Negativteil. Darüber hinaus gilt $|a|=a_{+}+a_{-}$ .

Beweis. Die Funktionen $f_{+}(z)=\max(z,0)$ und $f_{-}(z)=-\min(z,0)$ sind stetige Funktionen auf $\sigma (a)\subseteq \mathbb {R}$ mit $\operatorname {Id} (z)=z=f_{+}(z)-f_{-}(z)$ und $f_{+}(z)f_{-}(z)=f_{-}(z)f_{+}(z)=0$ . Setze $a_{+}=f_{+}(a)$ und $a_{-}=f_{-}(a)$ . Nach dem spektralen Abbildungssatz sind $a_{+}$ und $a_{-}$ positive Elemente und es gilt $a=\operatorname {Id} (a)=(f_{+}-f_{-})(a)=f_{+}(a)-f_{-}(a)=a_{+}-a_{-}$ und $a_{+}a_{-}=f_{+}(a)f_{-}(a)=(f_{+}f_{-})(a)=0=(f_{-}f_{+})(a)=f_{-}(a)f_{+}(a)=a_{-}a_{+}$ . Weiterhin gilt ${\textstyle f_{+}(z)+f_{-}(z)=|z|={\sqrt {z^{*}z}}={\sqrt {z^{2}}}}$ , sodass ${\textstyle a_{+}+a_{-}=f_{+}(a)+f_{-}(a)=|a|={\sqrt {a^{*}a}}={\sqrt {a^{2}}}}$ gilt.

Unitäre Elemente

Ist $a$ ein selbstadjungiertes Element einer C*-Algebra ${\mathcal {A}}$ mit Einselement $e$ , so ist $u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}$ unitär, wobei $\mathrm {i}$ die imaginäre Einheit bezeichnet. Ist umgekehrt $u\in {\mathcal {A}}_{U}$ ein unitäres Element, mit der Einschränkung, dass das Spektrum eine echte Teilmenge des Einheitskreises ist, also $\sigma (u)\subsetneq \mathbb {T}$ , so existiert ein selbstadjungiertes Element $a\in {\mathcal {A}}_{sa}$ mit $u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}$ .

Beweis. Es ist $u=f(a)$ mit $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}$ , denn da $a$ selbstadjungiert ist, folgt $\sigma (a)\subset \mathbb {R}$ , das heißt $f$ ist eine Funktion auf dem Spektrum von $a$ . Da $f\cdot {\overline {f}}={\overline {f}}\cdot f=1$ folgt mittels Funktionalkalkül $uu^{*}=u^{*}u=e$ , das heißt $u$ ist unitär. Da für die andere Aussage ein $z_{0}\in \mathbb {T}$ existiert, sodass $\sigma (u)\subseteq \{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}\mid z_{0}\leq z\leq z_{0}+2\pi \}$ ist die Funktion $f(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z})=z$ für $z_{0}\leq z\leq z_{0}+2\pi$ eine reellwertige stetige Funktion auf dem Spektrum $\sigma (u)$ , sodass $a=f(u)$ ein selbstadjungiertes Element ist, das $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} f(u)}=u$ erfüllt.

Spektraler Zerlegungssatz

Sei ${\mathcal {A}}$ eine unitäre C*-Algebra und $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ ein normales Element. Das Spektrum bestehe aus $n$ paarweise disjunkten abgeschlossenen Teilmengen $\sigma _{k}\subset \mathbb {C}$ für alle $1\leq k\leq n$ , also $\sigma (a)=\sigma _{1}\sqcup \cdots \sqcup \sigma _{n}$ . Dann existieren Projektionen $p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {A}}$ , die für alle $1\leq j,k\leq n$ die folgenden Eigenschaften besitzen[10]:

Für das Spektrum gilt $\sigma (ap_{k})=\sigma _{k}$ .
Die Projektionen kommutieren mit $a$ , also $p_{k}a=ap_{k}$ .
Die Projektionen sind orthogonal, also $p_{j}p_{k}=\delta _{jk}p_{k}$ .
Die Summe der Projektionen ist das Einselement, also ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}=e}$ .

Insbesondere existiert eine Zerlegung ${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ für die $\sigma (a_{k})=\sigma _{k}$ für alle $1\leq k\leq n$ gilt.

Beweis.[10] Da die $\sigma _{k}$ alle abgeschlossen sind, sind die charakteristischen Funktionen $\chi _{\sigma _{k}}$ stetig auf $\sigma (a)$ . Sei nun $p_{k}:=\chi _{\sigma _{k}}(a)$ mithilfe des stetigen Funktionalkalküls definiert. Da die $\sigma _{k}$ paarweise disjunkt sind gilt $\chi _{\sigma _{j}}\chi _{\sigma _{k}}=\delta _{jk}\chi _{\sigma _{k}}$ und ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\chi _{\sigma _{k}}=\chi _{\cup _{k=1}^{n}\sigma _{k}}=\chi _{\sigma (a)}={\textbf {1}}}$ und somit erfüllen die $p_{k}$ die geforderten Eigenschaften, wie sich wiederum aus den Eigenschaften des stetigen Funktionalkalküls ergibt. Für die letzte Aussage setzt man $a_{k}=ap_{k}=\operatorname {Id} (a)\cdot \chi _{\sigma _{k}}(a)=(\operatorname {Id} \cdot \chi _{\sigma _{k}})(a)$ .

Literatur

Jacques Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations. Gauthier-Villars, Paris, 1969.
Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1.
Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3.
Masamichi Takesaki: Theory of Operator Algebras I. Springer, Heidelberg/Berlin, 1979, ISBN 3-540-90391-7.

Einzelnachweise

Michael Reed, Barry Simon: Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis. Academic Pres, San Diego, CA, 1980, ISBN 0-12-585050-6, S. 222–223.
Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras. Springer, 2009, ISBN 978-0-387-72475-1, S. 147.
Bruce Blackadar: Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9, S. 62.
Anton Deitmar, Siegfried Echterhoff: Principles of Harmonic Analysis. Second Edition. Springer, 2014, ISBN 978-3-319-05791-0, S. 55.
Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37794-5, S. 332.
Konrad Schmüdgen: Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space. Springer, 2012, ISBN 978-94-007-4752-4, S. 93.
Michael Reed, Barry Simon: Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis. Academic Pres, San Diego, CA, 1980, ISBN 0-12-585050-6, S. 222.
Bruce Blackadar: Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9, S. 64–65.
Bruce Blackadar: Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9, S. 62.
Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37794-5, S. 375.

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[1] Michael Reed, Barry Simon: Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis. Academic Pres, San Diego, CA, 1980, ISBN 0-12-585050-6, S. 222–223.

[2] Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras. Springer, 2009, ISBN 978-0-387-72475-1, S. 147.

[3] Bruce Blackadar: Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9, S. 62.

[4] Anton Deitmar, Siegfried Echterhoff: Principles of Harmonic Analysis. Second Edition. Springer, 2014, ISBN 978-3-319-05791-0, S. 55.

[5] Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37794-5, S. 332.

[6] Konrad Schmüdgen: Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space. Springer, 2012, ISBN 978-94-007-4752-4, S. 93.

[7] Michael Reed, Barry Simon: Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis. Academic Pres, San Diego, CA, 1980, ISBN 0-12-585050-6, S. 222.

[8] Bruce Blackadar: Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9, S. 64–65.

[9] Bruce Blackadar: Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9, S. 62.

[kaballo-10] Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37794-5, S. 375.