Stetige Funktion mit kompaktem Träger

Gegeben sei ein topologischer Raum ${\displaystyle (X,\tau )}$ und ein normierter Raum ${\displaystyle (S,\|\cdot \|_{S})}$ sowie eine Abbildung

${\displaystyle f\colon X\to S}$.

Die Abbildung ${\displaystyle f}$ heißt eine stetige Funktion mit kompaktem Träger, wenn der Träger der Funktion, also die Menge

${\displaystyle \operatorname {supp} (f):={\overline {\{x\in X\mid f(x)\neq 0\}}}}$

eine kompakte Menge ist und die Abbildung stetig ist. Es gilt also, dass die Urbilder offener Mengen (bezüglich der von ${\displaystyle \|\cdot \|_{S}}$ erzeugten Topologie) unter ${\displaystyle f}$ wieder offen sind, also in ${\displaystyle \tau }$ enthalten sind. Ist ${\displaystyle X}$ ein metrischer Raum, so bedeutet dies, dass für alle Folgen ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, die gegen ${\displaystyle x_{0}}$ konvergieren, die Bildfolge ${\displaystyle (f(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle f(x_{0})}$ konvergiert.

Die Menge aller stetigen Funktionen mit kompaktem Träger wird meist mit ${\displaystyle C_{c}(X,S)}$ oder ${\displaystyle C_{c}^{0}(X,S)}$ bezeichnet. Ist klar, um welche Räume es sich handelt, verzichtet man auch auf deren Angabe, dementsprechend finden sich für ${\displaystyle S=\mathbb {K} }$ oft die Bezeichnungen ${\displaystyle C_{c}(X)}$ oder ${\displaystyle C_{c}^{0}(X)}$

Definiert man die Addition und die Skalarmultiplikation in ${\displaystyle C_{c}(X;S)}$ punktweise, also

${\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x){\text{ sowie }}(\lambda f)(x):=\lambda f(x){\text{ für alle }}x\in X}$,

so ist ${\displaystyle C_{c}(X;S)}$ ein Vektorraum.

Des Weiteren ist jede stetige Funktion mit kompaktem Träger auch eine beschränkte Funktion.

Denn ist exemplarisch ${\displaystyle X}$ ein metrischer Raum, so existiert aufgrund der Stetigkeit zu jedem Punkt ${\displaystyle x}$ ein ${\displaystyle \epsilon _{x}}$, so dass

${\displaystyle f(B_{\epsilon _{x}}(x))\subset B_{1}(f(x))}$

Überdeckt man nun den Träger von ${\displaystyle f}$ mit den offenen Mengen ${\displaystyle (B_{\epsilon _{x}}(x))_{x\in \operatorname {supp} (f)}}$, so existiert aufgrund der Kompaktheit eine endliche Indexmenge ${\displaystyle I}$, so dass ${\displaystyle \left(B_{\epsilon _{x_{i}}}(x_{i})\right)_{i\in I}}$ den Träger überdeckt. Somit gilt

${\displaystyle f(X)=f(\operatorname {supp} (f))\subset f\left(\bigcup _{i\in I}B_{\epsilon _{x_{i}}}(x_{i})\right)\subset \bigcup _{i\in I}B_{1}(f(x_{i}))}$.

Also ist ${\displaystyle f}$ beschränkt. ${\displaystyle C_{c}(X,S)}$ ist damit ein Unterraum von ${\displaystyle B(X,S)}$, dem Raum der beschränkten Abbildungen. Für topologische Räume kann man diese Argumentation mithilfe einer Überdeckung des Trägers mit Mengen der Form ${\displaystyle f^{-1}(B_{1}(f(x)))}$ verallgemeinern.

Aufgrund der Beschränktheit ist die Definition der Supremumsnorm auf ${\displaystyle C_{c}(X;S)}$ durch

${\displaystyle \|f\|_{\operatorname {sup} }:=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{S}}$

sinnvoll und macht ${\displaystyle C_{c}(X;S)}$ zu einem normierten Raum.

Nach dem Darstellungssatz von Riesz-Markow lässt sich in einem lokalkompaktem Hausdorffraum ${\displaystyle X}$ jede positive Linearform

${\displaystyle I\colon C_{c}(X)\to \mathbb {K} }$

darstellen als

${\displaystyle I(f)=\int f\mathrm {d} \mu }$,

wobei ${\displaystyle \mu }$ ein eindeutig bestimmtes Radon-Maß ist. Dabei heißt eine Linearform positiv, wenn aus ${\displaystyle f\geq 0}$ immer ${\displaystyle I(f)\geq 0}$ folgt.

• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.