Stern-Primzahl
In der Zahlentheorie ist eine Stern-Primzahl (vom englischen stern prime) eine Primzahl , welche sich nicht als Summe einer kleineren Primzahl und dem Doppelten eines Quadrats einer ganzen Zahl darstellen lässt.[1][2][3]
Mit anderen Worten: Gibt es für eine Primzahl keine kleinere Primzahl und keine ganze Zahl , so dass gilt, dann nennt man Stern-Primzahl.
Etwas umformuliert erhält man: Eine Primzahl nennt man Stern-Primzahl, wenn keine Primzahl ergibt für alle ganzzahligen .
Diese Zahlen wurden erstmals am 18. November 1752 von Christian Goldbach in einem Brief an Leonhard Euler erwähnt (er vermutete damals, dass jede ungerade ganze Zahl die Form mit ganzzahligem und primen hat) und etwa ein Jahrhundert später, im Jahr 1856, vom deutschen Mathematiker Moritz Stern genauer untersucht, nach dem diese Zahlen auch benannt wurden.[2]
Beispiele
- Sei . Dann kann man von dieser Primzahl die ersten doppelten Quadratzahlen subtrahieren und kontrollieren, ob man eine Primzahl erhält:
- ist keine Primzahl.
- ist keine Primzahl.
- ist keine Primzahl.
- ist keine Primzahl.
- ist keine Primzahl.
- ist keine Primzahl.
- ist keine Primzahl.
- ist keine Primzahl.
- Offensichtlich gibt es kein , sodass eine Primzahl ist. Somit ist eine Stern-Primzahl.
- Sei . Wieder kontrolliert man, ob man mit obigem Verfahren eine Primzahl erhält:
- ist keine Primzahl.
- ist eine Primzahl.
- Man kann die Berechnung unterbrechen, weil man eine Primzahl und ein gefunden hat, sodass eine Primzahl ist. Somit ist keine Stern-Primzahl. Diese so errechnete Primzahl ist in diesem Fall nicht die einzige Primzahl, die man auf diese Art erhalten kann. Ebenso ergibt auch und eine Primzahl. Es gibt für also drei Möglichkeiten, dass man mit eine Primzahl erhalten kann. Diese Darstellungen nennt man Goldbach-Darstellungen von .
- Die einzigen bekannten Stern-Primzahlen sind die folgenden:
- Es gibt bis keine weiteren Stern-Primzahlen. Es ist unbekannt, ob es größere gibt.[1]
- Die folgende Liste gibt alle bekannten ungeraden Zahlen an, nicht notwendigerweise Primzahlen, welche keine Goldbach-Darstellungen haben, welche also nicht von der Form mit primen sind:
- Diese Zahlen nennt man Stern-Zahlen. Nur zwei dieser Zahlen sind keine Primzahlen, nämlich 5777 und 5993.
- Wie oben schon erwähnt, hat eine Zahl Zahl oft mehrere Goldbach-Darstellungen. Die folgende Liste gibt die kleinste Zahl an, die Goldbach-Darstellungen hat (mit aufsteigendem , wobei auch und erlaubt ist):
- 1, 3, 13, 19, 55, 61, 139, 139, 181, 181, 391, 439, 559, 619, 619, 829, 859, 1069, 1081, 1459, 1489, 1609, 1741, 1951, 2029, 2341, 2341, 3331, 3331, 3331, 3961, 4189, 4189, 4261, 4801, 4801, 5911, 5911, 5911, 6319, 6319, 6319, 8251, 8251, 8251, 8251, 8251 (Folge A007697 in OEIS)
- Beispiel:
- An der siebenten und achten Stelle der obigen Liste steht die Zahl . Tatsächlich gibt es für diese Zahl (in diesem Fall eine Primzahl) acht verschiedene (und somit auch sieben verschiedene) Goldbach-Darstellungen, so viel, wie keine andere kleinere Zahl vorher (bis zu dieser Zahl hatte den Rekord mit sechs Goldbach-Darstellungen):
- mit , ist aber genau genommen laut der Definition von Stern-Primzahlen nicht erlaubt, weil
- mit
- mit
- mit , also keine Goldbach-Darstellung
- mit
- mit
- mit
- mit
- mit
- An der siebenten und achten Stelle der obigen Liste steht die Zahl . Tatsächlich gibt es für diese Zahl (in diesem Fall eine Primzahl) acht verschiedene (und somit auch sieben verschiedene) Goldbach-Darstellungen, so viel, wie keine andere kleinere Zahl vorher (bis zu dieser Zahl hatte den Rekord mit sechs Goldbach-Darstellungen):
- Beispiel:
- 1, 3, 13, 19, 55, 61, 139, 139, 181, 181, 391, 439, 559, 619, 619, 829, 859, 1069, 1081, 1459, 1489, 1609, 1741, 1951, 2029, 2341, 2341, 3331, 3331, 3331, 3961, 4189, 4189, 4261, 4801, 4801, 5911, 5911, 5911, 6319, 6319, 6319, 8251, 8251, 8251, 8251, 8251 (Folge A007697 in OEIS)
Wissenswertes
- Bei Primzahlzwillingen hat die größere der beiden Primzahlen die Goldbach-Darstellung .
- Bei Primzahlvierlingen hat die größte dieser vier Primzahlen die Goldbach-Darstellung .
- Schon Leonhard Euler vermutete, dass je größer eine Primzahl ist, desto mehr (Goldbach-)Darstellungen der Form gibt es für diese Zahl. Deswegen war schon er der Meinung, dass die obige (kurze) Liste der 8 Stern-Primzahlen alle Stern-Primzahlen sind, die existieren.
- Goldbach vermutete in seinem Brief an Leonhard Euler, dass jede ungerade ganze Zahl in der Form mit primen oder und geschrieben werden kann und führte als Beispiel unter anderem auch für die Stern-Primzahl eine Darstellung der Form an.[2] Damit hat er auch für alle anderen Primzahlen Darstellungen der Form gefunden, die allerdings nicht der heutigen Definition von Stern-Primzahlen entsprechen, weil mittlerweile verlangt wird. Insofern behauptete er, dass alle Stern-Zahlen (mit der heutigen Definition) Primzahlen sind. Mittlerweile sind aber zwei (ungerade) Stern-Zahlen bekannt, die keine Primzahlen sind, nämlich und , welche definitiv keine Darstellung der Form besitzen. Somit irrte sich Goldbach.
- Moritz Stern untersuchte ab 1856 mit seinen Studenten alle ungeraden Zahlen bis und fand auch die beiden Stern-Zahlen und , welche keine Primzahlen sind. Allerdings führte er die Primzahl als kleinste Stern-Primzahl an und nicht die tatsächlich kleinste ungerade Stern-Primzahl . Der Grund dafür ist der, dass damals viele Mathematiker die Zahl noch als Primzahl betrachteten,[4] weswegen nicht als Stern-Primzahl gegolten hat, weil diese Zahl die Darstellung hat.[2]
Weblinks
- Stern prime. In: PlanetMath. (englisch)
Einzelnachweise
- Comments und Links zu OEIS A042978
- Laurent Hodges: A lesser-known Goldbach conjecture
- Toying with a lesser known Goldbach Conjecture…
- Chris K. Caldwell, Angela Reddick, Yeng Xiong: The History of the Primality of One: A Selection of Sources. Journal of Integer Sequences 15, Article 12.9.8, 2012, S. 1–40, abgerufen am 10. Februar 2020.
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