Steiner-Inellipse

Bild 1: Steiner-Inellipse
mit fünf konstruktiv bestimmten Punkten ${\displaystyle D,F',E,D',F}$

Im gewählten Dreieck ${\displaystyle ABC}$ (Bild 1) mit drei ungleich langen Seiten werden die drei Seitenhalbierenden mit ihren Schnittpunkten ${\displaystyle D,E}$ und ${\displaystyle F}$ konstruiert. Sie treffen sich im Schwerpunkt ${\displaystyle S}$ der späteren Ellipse. Es folgt das Festlegen der Halbmesser ${\displaystyle {\overline {SD'}}}$ und ${\displaystyle {\overline {SF'}}}$ durch Verdoppelung der Strecken ${\displaystyle {\overline {SD}}}$ bzw. ${\displaystyle {\overline {SD}}}$ auf den Seitenhalbierenden innerhalb des Dreiecks. Die gesuchten fünf Ellipsenpunkte sind somit ${\displaystyle D,F',E,D'}$ und ${\displaystyle F}$. Für das abschließende Zeichnen der Ellipsenlinie, je nachdem, ob die Konstruktion im Computer erfolgte oder mit Zirkel und Lineal erstellt wurde, finden folgende Hilfsmittel Verwendung:

• Eine Dynamische-Geometrie-Software (DGS) zeichnet die Ellipse als (exakte) parametrisierte Kurve.
• Verbindet man dagegen die fünf Ellipsenpunkte einfach mithilfe eines Kurvenlineals, erhält man eine approximierte Ellipse.

Um in ein Dreieck mit drei ungleich langen Seiten das Zeichnen einer exakten Ellipsenlinie mithilfe eines mechanischen Hilfsmittels zu ermöglichen, bedarf es einer bzw. zweier der folgenden Gegebenheiten:

• Haupt- und Nebenachse der Ellipse mit deren Scheitelpunkten ${\displaystyle S_{1}\ldots S_{4},}$ erforderlich bei Verwendung eines Ellipsographen
• Brennpunkte der Ellipse ${\displaystyle F_{1}}$ und ${\displaystyle F_{2},}$ zusätzlich erforderlich bei Verwendung eines Ellipsenzirkels

Beide Voraussetzungen sind konstruierbar, wenn zuerst in dem gewählten Dreieck mindestens zwei sogenannte konjugierte Halbmesser der Inellipse, ähnlich der Konstruktion von konjugierten Halbmessern für die Steiner-Ellipse, bestimmt sind.

Vorgehensweise

Im gewählten Dreieck ${\displaystyle ABC}$ (Bild 2) mit drei ungleich langen Seiten werden zwei Seitenhalbierende mit ihren Schnittpunkten ${\displaystyle D_{1}}$ und ${\displaystyle E}$ konstruiert. Sie treffen sich im Schwerpunkt ${\displaystyle S}$ der späteren Ellipse. Anschließend wird der erste relevante Halbmesser ${\displaystyle {\overline {SD_{2}}}}$ durch Verdoppelung der Strecke ${\displaystyle {\overline {SD_{1}}}}$ innerhalb des Dreiecks bestimmt. Es folgt die Scherung des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ in ein gleichschenkliges und flächengleiches Dreieck ${\displaystyle A'B'C'}$ mit (gleicher) Höhe ${\displaystyle {\overline {D_{1}'C'}}}$

Bild 2: Steiner-Inellipse
Links: Dreieck mit drei ungleich langen Seiten, mittig der Schwerpunkt ${\displaystyle S,}$ Haupt- und Nebenachse mit den Scheitelpunkten ${\displaystyle S_{1}\ldots S_{4}}$ mithilfe der Rytz–Konstruktion (Punkte ${\displaystyle J,K,L}$ und ${\displaystyle M}$) bestimmt.
Rechts: Das durch Scherung erzeugte gleichschenklige Dreieck ${\displaystyle A',B',C'}$ mit den konjugierten Halbmessern ${\displaystyle S,D_{2}'}$ und ${\displaystyle S,H',}$ gemäß der Ellipsen-Konstruktion von de La Hire.

Es geht weiter im gleichschenkligen Dreieck mit der Seitenhalbierenden ${\displaystyle {\overline {A'E'}},}$ die im Schwerpunkt ${\displaystyle S'}$ die Strecke ${\displaystyle {\overline {D_{1}'C'}}}$ schneidet, und der Verbindung ${\displaystyle S'}$ mit ${\displaystyle B'.}$ Anschließend wird, gemäß der Ellipsen-Konstruktion von de La Hire,[6] ein Kreis mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {S'E'}}}$ um ${\displaystyle S'}$ mit Schnittpunkt ${\displaystyle F}$ auf ${\displaystyle {\overline {B'S'}}}$ gezogen und eine Parallele zu ${\displaystyle {\overline {AB'}}}$ von ${\displaystyle S}$ durch ${\displaystyle S'}$ gezeichnet. Der darauf folgende Kreis mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {S'D_{1}'}}}$ um ${\displaystyle S'}$ schneidet ${\displaystyle {\overline {D_{1}'C'}}}$ in ${\displaystyle D_{2}'.}$ Die nächste Parallele zu ${\displaystyle {\overline {A'B'}}}$ ab ${\displaystyle F}$ bis zum Kreis, der durch ${\displaystyle D_{1}'}$ verläuft, ergibt den Schnittpunkt ${\displaystyle G,}$ der jetzt mit ${\displaystyle S'}$ verbunden wird. Eine Parallele zu ${\displaystyle {\overline {D_{1}'S'}}}$ durch ${\displaystyle F}$ und durch die Strecke ${\displaystyle {\overline {GS'}}}$ ergibt darauf den Schnittpunkt ${\displaystyle H,}$ der mithilfe des Kreises mit Radius ${\displaystyle {\overline {S'H}}}$ um ${\displaystyle S'}$ auf die Schwerpunktachse ${\displaystyle {\overline {SS'}}}$ projiziert, mit ${\displaystyle {\overline {S'H'}}}$ den zweiten relevanten Halbmesser liefert. Somit sind die zwei konjugierten Halbmesser ${\displaystyle {\overline {SD_{2}}}}$ und ${\displaystyle {\overline {S'H'}}}$ ermittelt.

Die Weiterführung der Konstruktion erfolgt im gewählten Dreieck. Zuerst wird der soeben gefundene Halbmesser ${\displaystyle {\overline {S'H'}}}$ auf der Schwerpunktachse ${\displaystyle {\overline {SS'}}}$ ab ${\displaystyle S}$ mit Schnittpunkt ${\displaystyle H''}$ abgetragen. Die hiermit ermöglichte Konstruktion der Haupt- und Nebenachse der Ellipse wird anhand der sechs bildlich dargestellten Schritte der Rytzschen Achsenkonstruktion erstellt.[7] Danach werden die beiden Brennpunkte ${\displaystyle F_{1}}$ und ${\displaystyle F_{2}}$ bestimmt, indem man den Halbmesser ${\displaystyle a}$ in den Zirkel nimmt, damit in den Scheitelpunkt ${\displaystyle S_{3},}$ oder wie dargestellt in ${\displaystyle S_{4},}$ einsticht und die Abstände ${\displaystyle \left|S_{4}F_{1}\right|}$ und ${\displaystyle \left|S_{4}F_{2}\right|}$ erzeugt.

Abschließend wird mithilfe eines Ellipsographen oder eines Ellipsenzirkels die Ellipsenlinie (exakt) eingezeichnet.

Bild 3: Steiner-Inellipse,
alternative Konstruktion des Halbmessers ${\displaystyle {\overline {SH}}}$ mithilfe des rechtwinkligen Dreiecks ${\displaystyle SFH}$

Zuerst erfolgt die Berechnung des Halbmessers ${\displaystyle {\overline {SH}}.}$ Als Ansatz dient die allgemeine Formel für die Höhe ${\displaystyle h}$ des gleichseitigen Dreiecks mit der Seite ${\displaystyle a:}$

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot a}$

Die Hälfte dieses gleichseitigen Dreiecks ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der (gleichen) Höhe:

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot 2\cdot {\frac {a}{2}}={\sqrt {3}}\cdot {\frac {a}{2}}}$

Setzt man ${\displaystyle {\overline {AB}}=c,}$ ${\displaystyle {\frac {a}{2}}={\overline {SH}},}$ ${\displaystyle a=2\cdot {\overline {SH}}}$ und ${\displaystyle h={\frac {c}{2}}}$  ein, ergibt dies das rechtwinklige Dreieck ${\displaystyle SFH}$ (s. Bild 3) mit der Höhe

${\displaystyle {\frac {c}{2}}={\sqrt {3}}\cdot {\overline {SH}},}$

umgeformt gilt

${\displaystyle {\overline {SH}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c}{\sqrt {3}}}.}$

Es geht weiter mit der Konstruktion des rechtwinkligen Dreiecks ${\displaystyle SFH:}$

Sie beginnt mit dem Einzeichnen einer Senkrechten (Orthogonalen) zu ${\displaystyle {\overline {AB}},}$ ab dem Schwerpunkt ${\displaystyle S,}$ und dem Übertragen der Strecke ${\displaystyle {\overline {AD_{1}}}={\frac {c}{2}}}$ auf die Senkrechte; es ergibt die Strecke ${\displaystyle {\overline {SF}}.}$ Nun folgt die Konstruktion der Winkelweite ${\displaystyle 30^{\circ }}$ am Winkelscheitel ${\displaystyle F,}$ indem man die Strecke ${\displaystyle {\overline {SF}}}$ in ${\displaystyle G}$ halbiert, einen Kreisbogen mit Radius ${\displaystyle {\overline {GS}}}$ um den Punkt ${\displaystyle G}$ und einen weiteren Kreisbogen mit derselben Zirkelöffnung um den Punkt ${\displaystyle S}$ zieht; dabei ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle I.}$ Durch das Einzeichnen einer Halbgeraden, ab ${\displaystyle F}$ durch ${\displaystyle I}$, wird am Winkelscheitel ${\displaystyle F}$ der Winkel ${\displaystyle 30^{\circ }}$ generiert. Die abschließende Parallele zur Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}},}$ ab dem Schwerpunkt ${\displaystyle S,}$ erzeugt den Schnittpunkt ${\displaystyle H}$ auf der Halbgeraden und liefert somit den gesuchten Halbmesser ${\displaystyle {\overline {SH}}.}$

Da dieses rechtwinklige Dreieck konstruktiv einfach darstellbar ist, besteht auch die Möglichkeit, auf diese Art und Weise den zweiten konjugierten Halbmesser ${\displaystyle {\overline {SH}}}$ zu finden.