Unstetigkeitsstelle

Wie erwähnt, heißt eine auf dem reellen Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ definierte Funktion ${\displaystyle f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ unstetig an der Stelle ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$, falls sie dort nicht stetig ist. Man spricht auch von einer auf einer Menge ${\displaystyle I\subset [a,b]}$ unstetigen Funktion, wenn die Funktion an jeder Stelle ${\displaystyle x\in I}$ unstetig ist.

Es werden verschiedene „Sorten“ von Unstetigkeitsstellen unterschieden. Dazu werden die einseitigen Grenzwerte betrachtet:

Für ein reelles Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ und ${\displaystyle f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ betrachte man an der Stelle ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ den linksseitigen Grenzwert

${\displaystyle f(x_{0}^{-}):=\lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)}$

und den rechtsseitigen Grenzwert

${\displaystyle f(x_{0}^{+}):=\lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x).}$

Nun ist ${\displaystyle f}$ genau dann stetig in ${\displaystyle x_{0}}$, falls beide Grenzwerte existieren und gleich dem Funktionswert an der Stelle sind: ${\displaystyle f(x_{0}^{-})=f(x_{0}^{+})=f(x_{0})}$. Andernfalls ist ${\displaystyle f}$ an der Stelle unstetig. Folgende Fälle sind dabei möglich:

1. Eine Unstetigkeitsstelle heißt hebbar, falls die Grenzwerte ${\displaystyle f(x_{0}^{-})}$ und ${\displaystyle f(x_{0}^{+})}$ existieren, endlich sind und gleich sind. Solch eine Unstetigkeit lässt sich entfernen, genauer: Die Funktion
   ${\displaystyle g(x):={\begin{cases}f(x),&x\neq x_{0},\\f(x_{0}^{-}),&x=x_{0}\end{cases}}}$
   ist an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ stetig.
2. Falls beide Grenzwerte existieren und endlich, aber ungleich sind, spricht man von einer Sprungstelle und definiert den Sprung ${\displaystyle s:=f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})}$. Für hebbare Unstetigkeiten lässt sich der Sprung natürlich auch definieren, er ist dann ${\displaystyle s=0}$. (Für den Sprung an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ wird auch die Schreibweise der Sprungklammer verwendet: ${\displaystyle [[f(x_{0})]]:=s}$) Existieren auf dem gesamten Definitionsbereich einer Funktion alle einseitigen Grenzwerte und sind diese endlich, heißt die Funktion sprungstetig oder Regelfunktion.
3. Einen Pol (oder Polstelle) nennt man eine Unstetigkeit, an der ${\displaystyle f(x_{0}^{-})}$ und ${\displaystyle f(x_{0}^{+})}$ existieren, jedoch einer oder beide Grenzwerte nur im uneigentlichen Sinne, d. h., sie nehmen die Werte ${\displaystyle +\infty }$ oder ${\displaystyle -\infty }$ an (siehe auch Polstelle).
4. Schließlich gibt es noch die Möglichkeit, dass wenigstens einer der Grenzwerte weder eigentlich noch uneigentlich existiert.

Heaviside-Funktion

Die Fälle 1. und 2. werden auch als Unstetigkeitsstellen erster Art bezeichnet; Die Fälle 3. und 4. entsprechend als Unstetigkeiten zweiter Art, oder manchmal auch als wesentliche Unstetigkeiten.

Existieren für die Unstetigkeitsstelle ein links- und/oder rechtsseitiger Grenzwert, werden diese im Graphen der Funktion als kleine Kreise dargestellt, die, falls der betreffende Grenzwert gleichzeitig Funktionswert an der betreffenden Stelle ist, ausgefüllt werden, andernfalls dagegen leer bleiben (oder in vereinfachten Darstellungen mitunter auch gänzlich weggelassen werden).

Beispiel 1: hebbare Unstetigkeit

Beispiel 1: Die Funktion

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{ für }}x<1\\0&{\text{ für }}x=1\\2-x&{\text{ für }}x>1\end{cases}}}$

hat an der Stelle ${\displaystyle x_{0}=1}$ eine hebbare Unstetigkeit.

Beispiel 2: Sprungstelle

Beispiel 2: Die Funktion

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{ für }}x<1\\0&{\text{ für }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\text{ für }}x>1\end{cases}}}$

hat an der Stelle ${\displaystyle x_{0}=1}$ eine Sprungstelle mit einem Sprung von 1.

Beispiel 3: Unstetigkeit zweiter Art

Beispiel 3: Die Funktion

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ für }}x<1\\0&{\text{ für }}x=1\\{\frac {0{,}1}{x-1}}&{\text{ für }}x>1\end{cases}}}$

hat an der Stelle ${\displaystyle x_{0}=1}$ eine Unstetigkeit zweiter Art. Der linksseitige Grenzwert existiert nicht (weder eigentlich noch uneigentlich), der rechtsseitige Grenzwert ist ${\displaystyle +\infty }$.

Beispiel 4: Die Thomaesche Funktion ist auf den rationalen Zahlen unstetig und auf den irrationalen Zahlen stetig. Die Dirichlet-Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich unstetig.

Ist die Funktion ${\displaystyle f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ auf dem reellen Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ monoton, so existieren für alle ${\displaystyle x\in (a,b)}$ die einseitigen Grenzwerte ${\displaystyle f(x^{-})}$ und ${\displaystyle f(x^{+})}$.[1] Daher haben solche monotonen Funktionen keine Unstetigkeitsstellen zweiter Art. Die Menge der Unstetigkeitsstellen erster Art von solchen monotonen Funktionen ist höchstens abzählbar,[2][3][4] kann aber durchaus dicht im Definitionsbereich liegen.[5]

• Definitionslücke

• Walter Rudin: Analysis. 4. Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2009, ISBN 978-3-486-58730-2, 4. Stetigkeit: Unstetigkeitsstellen, S. 109–110 (englisch: Principles of mathematical analysis. Übersetzt von Martin Lorenz und Christian Euler).

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 17. Auflage. Vieweg und Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, 39. Einseitige Grenzwerte, S. 239.

• Kurt Endl und Wolfgang Luh: Analysis I. Eine integrierte Darstellung. 9. Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-498-4, 2.12 Grenzwerte von Funktionen, S. 126.

• Ilja N. Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik. 7. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008, ISBN 978-3-8171-2017-8, 2.1.5.2 Definition der Stetigkeit und 2.1.5.3 Häufig auftretende Arten von Unstetigkeiten, S. 59.

• Hans-Jochen Bartsch: Taschenbuch Mathematischer Formeln. 20. Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, München 2004, ISBN 3-446-22891-8, 7.4.3 Stetigkeit einer Funktion, S. 371.

1. Walter Rudin: Analysis. 4. Auflage. Satz 4.29, S. 109.
2. Walter Rudin: Analysis. 4. Auflage. Satz 4.30, S. 110.
3. Kurt Endl und Wolfgang Luh: Analysis I. Eine integrierte Darstellung. 9. Auflage. Satz 2.13.2.
4. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 17. Auflage. Satz 39.5, S. 239.
5. Walter Rudin: Analysis. 4. Auflage. Bemerkung 4.31, S. 110 (Es lässt sich sogar zu jeder abzählbaren Teilmenge E aus dem Definitionsbereich, ob dicht oder nicht, eine monotone Funktion konstruieren, die unstetig auf E und sonst stetig ist.).