Sprungklammer

Die Sprungklammer [[…]] ist eine vereinfachende Schreibweise für die Sprunghöhe einer Funktion an einer Unstetigkeitsstelle, siehe Grafik.

Unstetige Funktion

f(x)

mit Sprungstelle bei

x=s

und Sprunghöhe

[[f(s)]]

In der Kontinuumsmechanik kommen solche Sprungstellen beispielsweise vor

an Krafteinleitungsstellen, wo Kräfte flächig eingeleitet werden und am Rand der Einleitungsstelle schlagartig auf null zurückgehen,
an Materialgrenzen, wo die Dichte einen diskontinuierlichen Verlauf hat, oder
in Stoßwellen, wo auch die Geschwindigkeit einen Sprung machen kann.

Diese Situationen sind durchaus häufig und teilweise allgegenwärtig, sodass sie im Allgemeinen nicht ignoriert werden dürfen. Die resultierenden Terme in den Gleichungen, beispielsweise dem Reynolds’schen Transportsatz, lassen sich mit der Sprungklammer kurz und lesbar schreiben.

Definition

Für die Definition wird eine reellwertige Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ betrachtet, die an der Stelle $x=s$ eine Unstetigkeitsstelle besitze. Bei Annäherung von unten sei der linksseitige Grenzwert

\lim _{x\to s-}f(x)=f^{-}(s)

und von oben der rechtsseitige Grenzwert

\lim _{x\to s+}f(x)=f^{+}(s)

berechenbar. Dann ist die Sprungklammer eine Kurzschreibweise für die Differenz dieser Grenzwerte an der Sprungstelle:

[[f(s)]]:=\lim _{x\to s+}f(x)-\lim _{x\to s-}f(x)=f^{+}(s)-f^{-}(s)

Die Funktionen können die Komponenten von Vektor- oder Tensorfeldern sein, weswegen sich die Sprungklammer auch auf vektorielle oder tensorielle Argumente verallgemeinern lässt.

Siehe auch

Literatur

W. H. Müller: Streifzüge durch die Kontinuumstheorie. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-19869-4.
H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2010, ISBN 978-3-642-07718-0.

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