Spinorbündel

Sei ${\displaystyle (M,g)}$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle \pi _{E}\colon E\to M}$ ein orientiertes hermitesches Vektorbündel der Dimension ${\displaystyle n}$. Mit ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ wird die Spin-Gruppe von ${\displaystyle C\ell _{n}}$ bezeichnet. Sie kann als eine zweiblättrige Überlagerung ${\displaystyle \tau _{0}\colon \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$ der orthogonalen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ aufgefasst werden. Eine Spinstruktur auf ${\displaystyle E}$ ist ein ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$-Hauptfaserbündel ${\displaystyle P_{\operatorname {Spin} }(E)\to E}$ zusammen mit einer zweiblättrigen Überlagerung

${\displaystyle \tau \colon P_{\operatorname {Spin} }(E)\to P_{\operatorname {SO} }(E)}$

des ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$-Hauptfaserbündels ${\displaystyle P_{\operatorname {SO} }(E)}$, so dass ${\displaystyle \tau (pg)=\tau (p)\tau _{0}(g)}$ für alle ${\displaystyle p\in P_{\operatorname {Spin} }(E)}$ und alle ${\displaystyle g\in \operatorname {Spin} (n)}$ gilt.[3]

Eine Spin-Mannigfaltigkeit ist eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit, die eine Spinstruktur auf ihrem Tangentialbündel erlaubt.[4]

Da die Stiefel-Whitney-Klasse einer Mannigfaltigkeit definiert ist als die Stiefel-Whitney-Klasse ihres Tangentialbündels ist, bedeutet das, dass eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit genau dann eine Spinstruktur zulässt, wenn ${\displaystyle \omega _{\text{2}}(X)=0}$ gilt. Dann werden die verschiedenen Spinstrukturen von den Elementen von ${\displaystyle H^{1}(X;\mathbb {Z} _{\text{2}})}$ bestimmt.[5]

Sei ${\displaystyle (M,g)}$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension und einer Spinstruktur ${\displaystyle \pi \colon P_{\operatorname {Spin} }(M)\to TM}$ auf dem Tangentialbündel ${\displaystyle TM}$, also kurz eine Spin-Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension. Sei ${\displaystyle S}$ die Darstellung der komplexen Clifford-Algebra ${\displaystyle \mathbb {C} l(n)}$ (auch Spinor-Modul genannt). Die ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$-Gruppe hat als Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {C} l(n)}$ ebenfalls eine Darstellung ${\displaystyle \rho \colon \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {End} (S)}$.

Das Spinorbündel ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ über der Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist definiert als das assoziierte komplexe Vektorbündel[6]

${\displaystyle {\mathcal {S}}:=P_{\operatorname {Spin} }(M)\times _{\operatorname {Spin} (n)}S\,.}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \times _{\operatorname {Spin} (n)}}$ das Faserprodukt von ${\displaystyle P_{\operatorname {Spin} }(M)}$ mit ${\displaystyle S}$ über ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$. In diesem konkreten Fall bedeutet dies

${\displaystyle P_{\operatorname {Spin} }(M)\times _{\operatorname {Spin} (n)}S=P_{\operatorname {Spin} }(M)\times S/\{(p\cdot g,f)\sim (p,\rho (g)f\}}$

für ${\displaystyle p\in P_{\operatorname {Spin} }(M)}$, ${\displaystyle g\in \operatorname {Spin} (n)}$ und ${\displaystyle f\in S}$.

• Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1997. ISBN 3-528-06926-0.

1. Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1997. ISBN 3-528-06926-0, S. 467–468.
2. spin geometry. In: nlab. Abgerufen am 31. März 2021 (englisch).
3. H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5, S. 80.
4. H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5, S. 96.
5. H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5, S. 96–97.
6. Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 111.