Spinor-Darstellung

Im Folgenden bezeichnen wir mit ${\displaystyle \mathbb {C} l_{n}}$ die Clifford-Algebra des ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorraums ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ mit der quadratischen Form ${\displaystyle q(z_{1},\ldots ,z_{n})=z_{1}^{2}+\ldots +z_{n}^{2}}$.

Die Clifford-Algebra ${\displaystyle \mathbb {C} l_{1}}$ ist isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} }$ und hat insbesondere zwei ${\displaystyle 1}$-dimensionale Darstellungen. Die Clifford-Algebra ${\displaystyle \mathbb {C} l_{2}}$ wird per Definition erzeugt von ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ mit den Relationen ${\displaystyle e_{1}^{2}=-1=e_{2}^{2}}$ und ${\displaystyle e_{1}e_{2}+e_{2}e_{1}=0}$. Andererseits hat ${\displaystyle Mat(2,\mathbb {C} )}$ als ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorraum die Basis

${\displaystyle 1=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right),\ g_{1}=\left({\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}}\right),\ g_{2}=\left({\begin{array}{cc}0&i\\i&0\end{array}}\right),\ g_{1}g_{2}=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}$

mit den Relationen ${\displaystyle g_{1}^{2}=-1=g_{2}^{2}}$ und ${\displaystyle g_{1}g_{2}+g_{2}g_{1}=0}$. Man hat also einen Isomorphismus

${\displaystyle \mathbb {C} l_{2}\cong Mat(2,\mathbb {C} )}$

und insbesondere eine ${\displaystyle 2}$-dimensionale Darstellung von ${\displaystyle \mathbb {C} l_{2}}$.

Durch

${\displaystyle e_{1}\to 1\otimes g_{1},\ e_{2}\to 1\otimes g_{2},\ e_{j}\to (ie_{j-2}\otimes g_{1}g_{2}){\mbox{ für }}3\leq j\leq n+2}$

erhält man einen Isomorphismus

${\displaystyle \mathbb {C} l_{n+2}\to \mathbb {C} l_{n}\otimes M_{2}(\mathbb {C} )}$.

Für eine gerade Zahl ${\displaystyle n=2k}$ folgt daraus durch vollständige Induktion

${\displaystyle \mathbb {C} l_{2k}\cong M_{2}(\mathbb {C} )\otimes \ldots \otimes M_{2}(\mathbb {C} )\cong M_{2^{k}}(\mathbb {C} )}$,

insbesondere erhält man eine Darstellung von ${\displaystyle \mathbb {C} l_{2k}}$ auf einem ${\displaystyle 2^{k}}$-dimensionalen Vektorraum ${\displaystyle \Delta _{n}}$.

Für eine ungerade Zahl ${\displaystyle n=2k+1}$ erhält man durch vollständige Induktion

${\displaystyle \mathbb {C} l_{2k+1}\cong (\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} )\otimes M_{2}(\mathbb {C} )\otimes \ldots \otimes M_{2}(\mathbb {C} )\cong (\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} )\otimes M_{2^{k}}(\mathbb {C} )\cong M_{2^{k}}(\mathbb {C} )\oplus M_{2^{k}}(\mathbb {C} )}$,

insbesondere erhält man zwei Darstellungen von ${\displaystyle \mathbb {C} l_{2k+1}}$ auf ${\displaystyle 2^{k}}$-dimensionalen Vektorräumen.

In jedem Fall hat man für ${\displaystyle n=2k}$ oder ${\displaystyle n=2k+1}$ einen komplexen Vektorraum

${\displaystyle \Delta _{n}\cong \mathbb {C} ^{2^{k}}}$,

so dass

${\displaystyle {\begin{array}{cc}\mathbb {C} l_{n}=End(\Delta _{n})&n=2k{\mbox{ gerade}}\\\mathbb {C} l_{n}=End(\Delta _{n})\oplus End(\Delta _{n})&n=2k+1{\mbox{ ungerade}}\end{array}}}$.

Die Spinordarstellung der Spin-Gruppe ${\displaystyle Spin(n)}$ ist die Einschränkung der Darstellung ${\displaystyle \Delta _{n}}$ auf ${\displaystyle Spin(n)\subset \mathbb {C} l_{n}}$.

Allgemeiner kann man für ${\displaystyle n=p+q}$ die zur quadratischen Form ${\displaystyle q(z_{1},\ldots ,z_{n})=z_{1}^{2}+\ldots +z_{p}^{2}-z_{p+1}^{2}-\ldots -z_{p+q}^{2}}$ auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$ assoziierte Spin-Gruppe ${\displaystyle Spin(p,q)}$ betrachten. Diese ist ebenfalls in ${\displaystyle \mathbb {C} l_{n}}$ enthalten und somit sind ${\displaystyle \Delta _{n}}$ bzw. ${\displaystyle \Delta _{n}^{\pm }}$ Darstellungen von ${\displaystyle Spin(p,q)}$. In der Physik werden die Elemente von ${\displaystyle \Delta _{n}}$ als Dirac-Spinoren bezeichnet.

• Die Spinor-Darstellungen für ungerade n und die Halbspinor-Darstellungen für gerade nicht durch 4 teilbare n sind treue Darstellungen.
• Für alle ${\displaystyle g\in Spin(n)}$ hat das Bild in ${\displaystyle GL(\Delta _{n})}$ bzw. ${\displaystyle GL(\Delta _{n}^{\pm })}$ die Determinante ${\displaystyle 1}$.
• Auf ${\displaystyle \Delta _{n}}$ bzw. ${\displaystyle \Delta _{n}^{\pm }}$ gibt es ein ${\displaystyle Spin(n)}$-invariantes hermitesches Skalarprodukt. Die Bilder der Spinor- und Halbspinor-Darstellungen liegen also in ${\displaystyle SU(\Delta _{n})}$ bzw. ${\displaystyle SU(\Delta _{n}^{\pm })}$.

Für ${\displaystyle n=2k+1}$ ungerade ist die Spinor-Darstellung ${\displaystyle \Delta _{n}}$ eine irreduzible Darstellung von ${\displaystyle Spin(n)}$. Dagegen ist für ${\displaystyle n=2k}$ gerade die Spinor-Darstellung die direkte Summe ${\displaystyle \Delta _{2k}^{+}\oplus \Delta _{2k}^{-}}$ zweier irreduzibler Darstellungen, die als Halbspinor-Darstellungen bezeichnet werden.

Man erhält diese Unterräume als Eigenräume der Wirkung von ${\displaystyle e_{1}\ldots e_{2k}}$ zu den Eigenwerten ${\displaystyle (-i)^{k}}$ und ${\displaystyle -(-i)^{k}}$. In der Physik werden die Elemente dieser beiden Unterräume als positive und negative Weyl-Spinoren bezeichnet.

• Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08542-5.
• John Roe: Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods. Second Edition. Chapman & Hall, CRC Research Notes in Mathematics Series, ISBN 978-0-582-32502-9.
• Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.