Spin-Gruppe

Zu einem endlichdimensionalen Vektorraum ${\displaystyle V}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ und einer quadratischen Form ${\displaystyle Q\colon V\to K}$ auf ${\displaystyle V}$ definiert man die Clifford-Algebra ${\displaystyle Cl(V,Q)}$ als die Algebra über ${\displaystyle K}$, die von ${\displaystyle V}$ und dem Einselement ${\displaystyle 1_{Cl}}$ erzeugt wird und deren Multiplikation die Relation

${\displaystyle v\cdot v=-Q(v)1_{Cl}}$

erfüllt. Durch diese Beziehung ist die Clifford-Algebra bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Die Spin-Gruppe zu dieser quadratischen Form ist dann definiert als Untergruppe der Produkte einer geraden Anzahl von Einheitsvektoren

${\displaystyle \operatorname {Spin} (V,Q):=\{v_{1}\dots v_{2k}\in Cl(V,Q):k\in \mathbb {N} ,v_{1},\ldots ,v_{2k}\in V,Q(v_{1})=\ldots =Q(v_{2k})=1\}\subset Cl(V,Q)}$.

Die Spin-Gruppe zu der quadratischen Form

${\displaystyle Q=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$

auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ wird kurz als ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ bezeichnet.

Für ${\displaystyle p+q=n}$ bezeichnet man mit ${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$ die Spin-Gruppe zu der quadratischen Form

${\displaystyle Q=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}}$

auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$.

Für ${\displaystyle n\leq 6}$ hat man die folgenden Isomorphismen zu klassischen Lie-Gruppen:

• ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2)\cong S^{1}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {Sp} (2)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)}$

Satz: ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ist eine zweifache Überlagerung der ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$.

Beweisskizze: In der Clifford-Algebra ${\displaystyle Cl(n)}$ gilt ${\displaystyle v^{-1}=-v}$ für alle ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle q(v,v)=1}$. Die Abbildung

${\displaystyle x\mapsto -vxv^{-1}=vxv=x-2q(x,v)v}$

ist eine Spiegelung des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und sie ist kompatibel mit Produkten, definiert also eine Darstellung

${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$.

Weil jedes Element aus ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ Produkt einer geraden Anzahl von Spiegelungen ist, erhält man eine surjektive Abbildung, von der man zeigen kann, dass sie eine Überlagerung ist. Der Kern besteht nur aus ${\displaystyle \pm 1_{Cl}}$, denn Elemente im Kern müssen mit allen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ kommutieren, also zum Zentrum der Clifford-Algebra gehören, welches aber nur aus skalaren Vielfachen von ${\displaystyle 1_{Cl}}$ besteht. ${\displaystyle \pm 1_{Cl}}$ sind die einzigen zu ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ gehörenden skalaren Vielfachen von ${\displaystyle 1_{Cl}}$, wie man mittels der in ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ gültigen Formel ${\displaystyle (v_{1}\ldots v_{2k})^{-1}=v_{2k}\ldots v_{1}}$ sieht, aus der für Vielfache von ${\displaystyle 1_{Cl}}$ folgt, dass ihr Quadrat ${\displaystyle 1}$ ist.

Für ${\displaystyle n\geq 3}$ ist ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ einfach zusammenhängend und die universelle Überlagerung von ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$.

Analog ist ${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$ eine zweifache Überlagerung von ${\displaystyle \operatorname {SO} _{0}(p,q)}$, der Zusammenhangskomponente der Eins von ${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$. Für ${\displaystyle p+q\geq 3}$ ist ${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$ zusammenhängend, dagegen hat ${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,1)}$ zwei Zusammenhangskomponenten.

Die Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {spin}}(n)}$ von ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ist der von den Produkten ${\displaystyle e_{i}e_{j}}$ mit ${\displaystyle i\not =j}$ aufgespannte Unterraum von ${\displaystyle Cl(n)}$.

Die Überlagerung ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$ induziert einen Isomorphismus zur Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$ der schiefsymmetrischen Matrizen mit Spur ${\displaystyle 0}$. Dabei entspricht ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{4}}\sum _{i,j}a_{ij}e_{i}e_{j}}$ der schiefsymmetrischen Matrix mit Einträgen ${\displaystyle a_{ij}}$.

Durch den Homomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$ werden alle Darstellungen von ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ auch zu Darstellungen von ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$. Das sind zunächst die Standard-Darstellung von ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ auf ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ und weiter die induzierten Darstellungen auf den äußeren Algebren ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$ für ${\displaystyle k=2,3,\ldots }$

Darüber hinaus gibt es noch für ungerade ${\displaystyle n}$ die Spinor-Darstellung und gerade ${\displaystyle n}$ die beiden Halbspinor-Darstellungen von ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$, welche sich nicht als Darstellungen von ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ faktorisieren lassen. Zusammen mit den zuvorgenannten erhält man so alle Fundamentaldarstellungen von ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$.

• Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08542-5.
• John Roe: Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods. Second Edition. Chapman & Hall, CRC Research Notes in Mathematics Series, ISBN 978-0-582-32502-9.
• Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.