Rangkorrelationskoeffizient

Gegeben sei ein Zufallsvektor ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$ mit den stetigen Randverteilungsfunktionen ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$. Definiere den Zufallsvektor ${\displaystyle (U_{1},U_{2}):=(F_{1}(X_{1}),F_{2}(X_{2}))}$. Dann ist der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient ${\displaystyle \rho _{S}}$ für den Zufallsvektor ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$ gegeben durch:

${\displaystyle \rho _{S}:=\rho _{S}(X_{1},X_{2}):=\rho (U_{1},U_{2})=\rho (F_{1}(X_{1}),F_{2}(X_{2}))}$

Dabei handelt es sich bei ${\displaystyle \rho }$ um den gewöhnlichen Pearson'schen Korrelationskoeffizienten.

Man beachte, dass der Wert von ${\displaystyle \rho _{S}(X_{1},X_{2})}$ unabhängig von den konkreten (Rand-)Verteilungsfunktionen ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ist. Tatsächlich hängt der stochastische Rangkorrelationskoeffizient nur von der Copula ab, die dem Zufallsvektor ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$ zugrunde liegt. Ein weiterer Vorteil im Vergleich zum Pearson’schen Korrelationskoeffizient ist die Tatsache, dass ${\displaystyle \rho _{S}}$ immer existiert, da die ${\displaystyle U_{1},U_{2}}$ quadratisch integrierbar sind.

Dass der Spearman’scher Rangkorrelationskoeffizient nicht von den Randverteilungen des Zufallsvektors beeinflusst wird, lässt sich wie folgt illustrieren: Gemäß dem Satz von Sklar existiert für den Zufallsvektor ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$ mit der gemeinsamen Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ und den stetigen univariaten Randverteilungsfunktionen ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ eine eindeutige Copula ${\displaystyle C\colon [0,1]^{2}\to [0,1]}$, so dass gilt:

${\displaystyle C(F_{1}(x_{1}),F_{2}(x_{2}))=F(x_{1},x_{2})}$.

Nun wird der Zufallsvektor ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$ auf den Zufallsvektor ${\displaystyle (U_{1},U_{2}):=(F_{1}(X_{1}),F_{2}(X_{2}))}$ transformiert. Da Copulas invariant unter strikt monoton steigenden Transformation sind, und wegen der Stetigkeit von ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ hat ${\displaystyle (U_{1},U_{2})}$ dieselbe Copula wie ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$. Darüber hinaus sind die Randverteilungen von ${\displaystyle (U_{1},U_{2})}$ uniform verteilt, da

${\displaystyle P(U_{i}\leq x)=P(F_{i}(X_{i})\leq x)=P(X_{i}\leq F_{i}^{-1}(x))=F_{i}(F_{i}^{-1}(x))=x}$

für alle ${\displaystyle i\in \{1,2\}}$ und ${\displaystyle x\in (0,1)}$.

Aus diesen beiden Beobachtungen folgt, dass ${\displaystyle \rho _{S}(X_{1},X_{2})}$ zwar von der Copula von ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$ abhängt, aber nicht von seinen Randverteilungen.

Im Prinzip ist ${\displaystyle r_{s}}$ ein Spezialfall des Pearson’schen Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten, bei dem die Daten in Ränge konvertiert werden, bevor der Korrelationskoeffizient berechnet wird:

${\displaystyle r_{s}={\frac {\sum _{i}(R(x_{i})-{\overline {R}}_{x})(R(y_{i})-{\overline {R}}_{y})}{{\sqrt {\sum _{i}(R(x_{i})-{\overline {R}}_{x})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i}(R(y_{i})-{\overline {R}}_{y})^{2}}}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i}(R(x_{i})R(y_{i}))-{\overline {R_{x}}}{\overline {R_{y}}}}{s_{R_{x}}s_{R_{y}}}}={\frac {s_{R_{x},R_{y}}}{s_{R_{x}}s_{R_{y}}}}.}$

Dabei ist

${\displaystyle R(x_{i})}$ der Rang von ${\displaystyle x_{i}}$,

${\displaystyle {\overline {R}}_{x}}$ der Mittelwert der Ränge von ${\displaystyle x}$,

${\displaystyle s_{R_{x}}}$ die Standardabweichung der Ränge von ${\displaystyle x}$ und

${\displaystyle s_{R_{x},R_{y}}}$ die Stichprobenkovarianz von ${\displaystyle R(x)}$ und ${\displaystyle R(y)}$.

In der Praxis wird meistens eine einfachere Formel zur Berechnung von ${\displaystyle r_{s}}$ benutzt, die aber nur korrekt ist, wenn alle Ränge genau einmal vorkommen. Es liegen für zwei metrische Merkmale ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ die verbundenen Stichproben ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ bzw. ${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}}$ vor. Durch Rangskalierung der ${\displaystyle X}$- bzw. ${\displaystyle Y}$-Werte ergeben sich die (verbundenen) Rangreihen ${\displaystyle R(x_{1}),R(x_{2}),\ldots ,R(x_{n})}$ bzw. ${\displaystyle R(y_{1}),R(y_{2}),\ldots ,R(y_{n})}$. Wenn die ${\displaystyle X}$- und ${\displaystyle Y}$-Reihe so verbunden sind, dass jeweils die kleinsten Werte, die zweitkleinsten Werte usw. miteinander korrespondieren, dann gilt ${\displaystyle R(x_{i})=R(y_{i})}$, d. h., die beiden Rangreihen sind identisch. Stellt man nun die Rangzahlenpaare in der ${\displaystyle (x,y)}$-Ebene als Punkte dar, indem man horizontal ${\displaystyle R(x_{i})}$ und vertikal ${\displaystyle R(y_{i})}$ aufträgt, so liegen die Punkte auf einer Geraden mit der Steigung ${\displaystyle +1}$. In diesem Fall spricht von einer perfekten positiven Rangkorrelation, der der maximale Korrelationswert ${\displaystyle r_{s}=+1}$ zugeordnet ist. Um die Abweichung von der perfekten positiven Rangkorrelation zu erfassen, ist nach Spearman die Quadratsumme:[2]

${\displaystyle Q=\sum \limits _{i=1}^{n}(R(x_{i})-R(y_{i}))^{2}}$

der Rangdifferenzen ${\displaystyle d_{i}=R(x_{i})-R(y_{i})}$ zu bilden. Der Spearman’sche Rangkorrelationskoeffizient ${\displaystyle r_{s}}$ ist dann gegeben durch:

${\displaystyle r_{s}=1-{\frac {6Q}{n(n-1)(n+1)}}}$

Sind alle Ränge verschieden, ergibt diese einfache Formel exakt dasselbe Ergebnis.

Wenn identische Werte für ${\displaystyle X}$ oder ${\displaystyle Y}$ (also Bindungen) existieren, wird die Formel etwas komplizierter. Aber solange nicht sehr viele Werte identisch sind, ergeben sich nur kleine Abweichungen:[3]

${\displaystyle r_{s}={\frac {n^{3}-n-{\frac {1}{2}}T_{x}-{\frac {1}{2}}T_{y}-6Q}{\sqrt {\left(n^{3}-n-T_{x}\right)\left(n^{3}-n-T_{y}\right)}}}}$

mit ${\displaystyle \textstyle T_{\bullet }=\sum _{k}(t_{\bullet ,k}^{3}-t_{\bullet ,k})}$. Dabei ist ${\displaystyle t_{\bullet ,k}}$ die Anzahl der Beobachtungen mit gleichem Rang; wobei ${\displaystyle \bullet }$ entweder für ${\displaystyle X}$ oder für ${\displaystyle Y}$ steht.

Als Beispiel sollen Größe und Körpergewicht verschiedener Menschen untersucht werden. Die Paare von Messwerten seien 175 cm, 178 cm und 190 cm und 65 kg, 70 kg und 98 kg.

In diesem Beispiel besteht die maximale Rangkorrelation: Die Datenreihe der Körpergrößen wird nach Rang geordnet, und die Rangzahlen der Körpergrößen entsprechen auch den Rangzahlen der Körpergewichte. Eine niedrige Rangkorrelation herrscht, wenn etwa die Körpergröße im Verlauf der Datenreihe größer wird, das Gewicht jedoch abnimmt. Dann kann man nicht „Der schwerste Mensch ist der größte“ sagen. Der Rangkorrelationskoeffizient ist der zahlenmäßige Ausdruck des Zusammenhanges zweier Rangordnungen.

Gegeben sind acht Beobachtungen zweier Variablen a und b:

i	1	2	3	4	5	6	7	8
${\displaystyle a_{i}}$	2,0	3,0	3,0	5,0	5,5	8,0	10,0	10,0
${\displaystyle b_{i}}$	1,5	1,5	4,0	3,0	1,0	5,0	5,0	9,5

Um den Rang für die Beobachtungen von b zu ermitteln, wird folgendermaßen vorgegangen: Zunächst wird nach dem Wert sortiert, dann wird der Rang vergeben (d. h. neu durchnummeriert) und normiert, d. h. bei gleichen Werten wird der Mittelwert gebildet. Zuletzt wird die Eingangsreihenfolge wiederhergestellt, damit dann die Differenzen der Ränge gebildet werden können.

Eingang	Sort(Wert)	Rang ermitteln	Sort(Index)
${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\text{Index}}&{\text{Wert}}\\\hline 1&1{,}5\\2&1{,}5\\3&4{,}0\\4&3{,}0\\5&1{,}0\\6&5{,}0\\7&5{,}0\\8&9{,}5\\\end{array}}}$	${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\text{Index}}&{\text{Wert}}\\\hline 5&1{,}0\\1&1{,}5\\2&1{,}5\\4&3{,}0\\3&4{,}0\\6&5{,}0\\7&5{,}0\\8&9{,}5\\\end{array}}}$	${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c||c}{\text{Index}}&{\text{Wert}}&{\text{Rang}}&{\text{Normiert}}\\\hline 5&1{,}0&1&1\\\hline 1&1{,}5&2&(2+3)/2\\2&1{,}5&3&=2{,}5\\\hline 4&3{,}0&4&4\\\hline 3&4{,}0&5&5\\\hline 6&5{,}0&6&(6+7)/2\\7&5{,}0&7&=6{,}5\\\hline 8&9{,}5&8&8\\\end{array}}}$	${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c}{\text{Index}}&{\text{Wert}}&{\text{Rang Normiert}}\\\hline 1&1{,}5&2{,}5\\2&1{,}5&2{,}5\\3&4{,}0&5{,}0\\4&3{,}0&4{,}0\\5&1{,}0&1{,}0\\6&5{,}0&6{,}5\\7&5{,}0&6{,}5\\8&9{,}5&8{,}0\\\end{array}}}$

Aus den zwei Datenreihen a und b ergibt sich folgende Zwischenrechnung:

Werte von a	Werte von b	Rang von a	Rang von b	${\displaystyle d=R(a)-R(b)}$	${\displaystyle (R(a)-R(b))^{2}}$
2,0	1,5	1,0	2,5	−1,5	2,25
3,0	1,5	2,5	2,5	0,0	0,00
3,0	4,0	2,5	5,0	−2,5	6,25
5,0	3,0	4,0	4,0	0,0	0,00
5,5	1,0	5,0	1,0	4,0	16,00
8,0	5,0	6,0	6,5	−0,5	0,25
10,0	5,0	7,5	6,5	1,0	1,00
10,0	9,5	7,5	8,0	−0,5	0,25
					${\displaystyle \sum =26}$

Die Tabelle ist nach der Variablen a geordnet. Wichtig ist, dass sich Einzelwerte einen Rang teilen können. In der Reihe a gibt es zweimal „3“, und sie haben jeweils den „durchschnittlichen“ Rang (2+3)/2 = 2,5. Dasselbe geschieht bei der Reihe b.

Werte von a	Werte von b	${\displaystyle t_{a,k}}$	${\displaystyle t_{a,k}^{3}-t_{a,k}}$	${\displaystyle t_{b,k}}$	${\displaystyle t_{b,k}^{3}-t_{b,k}}$
2,0	1,5	1	0	2	6
3,0	1,5	2	6	-	-
3,0	4,0	-	-	1	0
5,0	3,0	1	0	1	0
5,5	1,0	1	0	1	0
8,0	5,0	1	0	2	6
10,0	5,0	2	6	-	-
10,0	9,5	-	-	1	0
		${\displaystyle T_{a}=12}$		${\displaystyle T_{b}=12}$

Mit der Korrektur nach Horn ergibt sich schließlich

${\displaystyle r_{s}={\frac {8^{3}-8-6-6-6\cdot 26}{\sqrt {\left({8^{3}-8}-12\right)\left(8^{3}-8-12\right)}}}={\frac {336}{492}}\approx 0{,}6829.}$

Der moderne Ansatz für den Test, ob der beobachtete Wert von ${\displaystyle \rho }$ sich signifikant von null unterscheidet führt zu einem Permutationstest. Dabei wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass ${\displaystyle \rho }$ für die Nullhypothese größer oder gleich dem beobachteten ${\displaystyle \rho }$ ist.

Dieser Ansatz ist traditionellen Methoden überlegen, wenn der Datensatz nicht zu groß ist, um alle notwendigen Permutationen zu erzeugen, und weiterhin, wenn klar ist, wie man für die gegebene Anwendung sinnvolle Permutationen für die Nullhypothese erzeugt (was aber normalerweise recht einfach ist).

Sei ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$ ein bivariater Zufallsvektor mit Copula ${\displaystyle C}$ und Randverteilungsfunktionen ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$. Damit hat ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$ gemäß dem Satz von Sklar die gemeinsame Verteilungsfunktion ${\displaystyle F(x_{1},x_{2})=C(F_{1}(x_{1}),F_{2}(x_{2}))}$. Das Kendall'sches Tau für den Zufallsvektor ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$ ist dann definiert als:

${\displaystyle \tau$ :=\tau _{C}:=4\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}C(u_{1},u_{2})\;dC(u_{1},u_{2})-1=4\,\mathbb {E} [C(F_{1}(X_{1}),F_{2}(X_{2}))]-1}

Man bemerke, dass ${\displaystyle \tau }$ unabhängig von den Randverteilungen des Zufallsvektors ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$ ist. Der Wert hängt daher nur von seiner Copula ab.

Um das empirische ${\displaystyle \tau }$ zu berechnen, betrachten wir Paare von nach ${\displaystyle x}$ sortierten Beobachtungen ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ und ${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$ mit ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$ und ${\displaystyle j=i+1,\ldots ,n}$. Es gilt also:

${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq \ldots \leq x_{n}.}$

Dann wird das Paar 1 mit allen folgenden Paaren (${\displaystyle 2,3,\ldots ,n}$) verglichen, das Paar 2 mit allen folgenden Paaren (${\displaystyle 3,\ldots ,n}$) usw. Es werden also insgesamt ${\displaystyle n(n-1)/2}$ Paarvergleiche durchgeführt. Gilt für ein Paar:

• ${\displaystyle x_{i}<x_{j}}$ und ${\displaystyle y_{i}<y_{j}}$, so heißt es konkordant oder übereinstimmend,
• ${\displaystyle x_{i}<x_{j}}$ und ${\displaystyle y_{i}>y_{j}}$, so heißt es diskonkordant oder uneinig,
• ${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}$ und ${\displaystyle y_{i}=y_{j}}$, so ist es eine Bindung in ${\displaystyle Y}$,
• ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ und ${\displaystyle y_{i}\neq y_{j}}$, so ist es eine Bindung in ${\displaystyle X}$ und
• ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ und ${\displaystyle y_{i}=y_{j}}$, so ist es eine Bindung in ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$.

Die Anzahl der Paare, die

• konkordant oder übereinstimmend sind, wird mit ${\displaystyle C}$,
• diskonkordant oder uneinig sind, wird mit ${\displaystyle D}$,
• die Bindungen in ${\displaystyle Y}$ sind, wird mit ${\displaystyle T_{Y}}$,
• die Bindungen in ${\displaystyle X}$ sind, wird mit ${\displaystyle T_{X}}$ und
• die Bindungen in ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ sind, wird mit ${\displaystyle T_{XY}}$ bezeichnet.

Das Kendall’sche ${\displaystyle \tau }$ Werte vergleicht nun die Zahl der konkordanten und der diskonkordanten Paare:

${\displaystyle \tau ={\frac {C-D}{\sqrt {(C+D+T_{X})\cdot (C+D+T_{Y})}}}}$

Ist das Kendall’sche ${\displaystyle \tau }$ positiv, so gibt es mehr konkordante Paare als diskonkordante, d. h. es ist wahrscheinlich, dass wenn ${\displaystyle x_{i}\leq x_{j}}$ ist, dann auch ${\displaystyle y_{i}\leq y_{j}}$ gilt. Ist das Kendall’sche Tau ${\displaystyle \tau }$ negativ, so gibt es mehr diskonkordante Paare als konkordante, d. h. es ist wahrscheinlich, dass wenn ${\displaystyle x_{i}\leq x_{j}}$ ist, dann auch ${\displaystyle y_{i}\geq y_{j}}$ gilt. Der Wert ${\displaystyle {\sqrt {(C+D+T_{X})\cdot (C+D+T_{Y})}}}$ normiert das Kendall’sche ${\displaystyle \tau }$, so dass gilt:

${\displaystyle -1\leq \tau \leq +1.}$

Betrachtet man die Zufallsvariable ${\displaystyle \tau }$, so hat Kendall herausgefunden, dass für den Test

${\displaystyle H_{0}\colon \tau =0}$ vs. ${\displaystyle H_{1}\colon \tau \neq 0}$

diese unter Nullhypothese approximativ normalverteilt ist: ${\displaystyle \mathrm {T} \sim {\mathcal {N}}\left(0;{\frac {4n+10}{9n(n-1)}}\right)}$. Neben dem approximativen Test kann auch ein exakter Permutationstest durchgeführt werden.

Mit den obigen Definitionen hatte Kendall insgesamt drei ${\displaystyle \tau }$-Koeffizienten definiert:

${\displaystyle {\text{Kendalls}}\tau _{a}={\frac {C-D}{n(n-1)/2}}}$

${\displaystyle {\text{Kendalls}}\tau _{b}={\frac {C-D}{{\sqrt {C+D+T_{x}}}{\sqrt {C+D+T_{y}}}}}}$ (siehe oben)

${\displaystyle {\text{Kendalls}}\tau _{c}={\frac {2m(C-D)}{(m-1)n^{2}}}}$

Das Kendall’sche Tau ${\displaystyle \tau _{a}}$ kann nur auf Daten ohne Bindungen angewandt werden. Das Kendall’sche ${\displaystyle \tau _{b}}$ erreicht auf nicht quadratischen Kontingenztabellen nicht die Extremwerte ${\displaystyle +1}$ bzw. ${\displaystyle -1}$ und berücksichtigt, da ${\displaystyle T_{xy}}$ nicht einfließt, keine Bindungen in ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$. Bei Vierfeldertafeln ist ${\displaystyle \tau _{b}}$ mit dem Vierfelderkoeffizienten ${\displaystyle \Phi }$ (Phi) und, wenn die Ausprägungen der beiden dichotomen Variablen jeweils mit 0 und 1 kodiert sind, auch mit dem Pearson’schen Korrelationskoeffizienten identisch.

Unter der Annahme, dass die unbeobachteten Variablen ${\displaystyle X_{i}^{*}}$ paarweise bivariat normalverteilt sind, kann man mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode die Korrelation zwischen den unbeobachteten Variablen schätzen. Dafür gibt es zwei Verfahren:

1. Man schätzt zuerst die Intervallgrenzen für jede Kategorie für jede unbeobachtete Variable ${\displaystyle X_{i}^{*}}$ (unter Annahme der univariaten Normalverteilung für die jeweilige unbeobachtete Variable). Danach wird in einem zweiten Schritt die Korrelation mit den zuvor geschätzten Intervallgrenzen nur noch die Korrelation mit der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt (twostep Methode).
2. Sowohl die unbekannten Intervallgrenzen als auch die unbekannte Korrelation gehen als Parameter in die Maximum-Likelihood-Funktion ein. Sie werden dann in einem Schritt geschätzt.

${\displaystyle X_{1}}$\${\displaystyle X_{2}}$	0	1
0	${\displaystyle n_{00}}$	${\displaystyle n_{10}}$
1	${\displaystyle n_{01}}$	${\displaystyle n_{11}}$

Für zwei binäre Variablen kann mit Hilfe der Kreuztabelle rechts eine Näherungsformel für die tetrachorische Korrelation angegeben werden:

${\displaystyle r_{tet}=\cos \left({\frac {\pi }{1+{\sqrt {\frac {n_{00}n_{11}}{n_{01}n_{10}}}}}}\right)}$

Eine Korrelation von ${\displaystyle r_{tet}=-1}$ liegt genau dann vor, wenn ${\displaystyle n_{00}=n_{11}=0}$. Entsprechend liegt eine Korrelation von ${\displaystyle r_{tet}=+1}$ genau dann vor, wenn ${\displaystyle n_{01}=n_{10}=0}$.