Spatprodukt

Das Spatprodukt ${\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})}$ dreier Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ und ${\displaystyle {\vec {c}}}$ des dreidimensionalen euklidischen Vektorraums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ kann wie folgt definiert werden:

${\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}}$.

Oft wird für das Spatprodukt keine eigene Notation eingeführt, sondern man schreibt einfach ${\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}}$. Andere gebräuchliche Notationen sind: ${\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]}$, ${\displaystyle \langle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\rangle }$ und ${\displaystyle |{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}|}$.

• Das Spatprodukt ist nicht kommutativ. Der Wert ändert sich jedoch nicht, wenn man die Faktoren zyklisch vertauscht:

  ${\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=({\vec {b}}\times {\vec {c}})\cdot {\vec {a}}=({\vec {c}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}}$.

• Man kann das Spatprodukt mit Hilfe der Determinante berechnen. Für

${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}},\ {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}},\ {\vec {c}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}}$

gilt

${\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix}}}$.

Der Beweis kann zum Beispiel durch einfaches Ausrechnen erbracht werden, siehe unten.

• Da im Spatprodukt die Vektoren zyklisch vertauscht werden können und das Skalarprodukt kommutativ ist, gilt

${\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})}$.

Man kann also bei entsprechend angepasster Klammerung die beiden Rechenzeichen „vertauschen“.

• Im Gegensatz zur zyklischen Vertauschung tritt bei der Vertauschung zweier Faktoren ein Vorzeichenwechsel auf:

  ${\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=-({\vec {b}},{\vec {a}},{\vec {c}})}$.

• Weiter gilt wegen ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}}$:

  ${\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {a}},{\vec {b}})=({\vec {a}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}}$.

  ${\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {a}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {a}}=({\vec {a}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}}$.

  ${\displaystyle ({\vec {b}},{\vec {a}},{\vec {a}})=({\vec {b}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {a}}=({\vec {a}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}}$.

• Die Multiplikation mit einem Skalar ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ist assoziativ:

  ${\displaystyle (\alpha \cdot {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=\alpha \cdot ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})}$.

• Es gilt ein Distributivgesetz:

  ${\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}+{\vec {d}})=({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})+({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {d}})}$.

• Nach der Definition des Skalarprodukts gilt:

  ${\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})||{\vec {c}}|\cos \sphericalangle ({\vec {a}}\times {\vec {b}},{\vec {c}})}$.

${\displaystyle \sphericalangle ({\vec {a}}\times {\vec {b}},{\vec {c}})}$ ist der Winkel zwischen dem Vektor ${\displaystyle {\vec {c}}}$ und dem Vektor, der rechtshändig orthogonal zu den Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}}$ ist.

Das Spatprodukt kann auch mit dem Levi-Civita-Symbol hergeleitet werden. Dafür wird zuerst das Skalarprodukt durch eine Summe dargestellt:

${\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=\sum _{i=1}^{3}({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}\cdot c_{i}.}$

Das Kreuzprodukt wird nun mit dem Levi-Civita-Symbol durch eine Summenschreibweise dargestellt:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}\cdot c_{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}c_{i}.}$

Der total antisymmetrische Epsilontensor ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ ist gleich ${\displaystyle \varepsilon _{kij}}$ bzw. gleich ${\displaystyle \varepsilon _{jki}}$. Damit lässt sich das Spatprodukt wie folgt ausdrücken:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}c_{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{kij}a_{j}b_{k}c_{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{jki}a_{j}b_{k}c_{i}.}$

Die Summenzeichen können vertauscht werden. Außerdem kann man nun geschickt Klammern setzen:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\right)c_{i}=\sum _{k=1}^{3}\left(\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{kij}c_{i}a_{j}\right)b_{k}=\sum _{j=1}^{3}\left(\sum _{k=1}^{3}\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{jki}b_{k}c_{i}\right)a_{j}.}$

Schreibt man die Kreuzprodukte nun wieder ohne Levi-Civita-Symbol, so ergibt sich die gewünschte Identität:

${\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=({\vec {c}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}=({\vec {b}}\times {\vec {c}})\cdot {\vec {a}}.}$

Das wiederholte Kreuzprodukt von drei Vektoren wird auch doppeltes Vektorprodukt oder Vektortripelprodukt genannt.[1] Es gilt die Graßmann-Identität (auch Graßmannscher Entwicklungssatz, nach Hermann Graßmann). Diese lautet:[2][3]

${\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})\,{\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,{\vec {c}}}$

bzw.

${\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})\,{\vec {b}}\ -({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})\,{\vec {a}},}$

wobei die Malpunkte das Skalarprodukt bezeichnen. In der Physik wird oft die Schreibweise

${\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}\,({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-{\vec {c}}\,({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,,}$

verwendet. Nach dieser Darstellung wird die Formel auch BAC-CAB-Formel genannt. In Indexschreibweise lautet die Graßmann-Identität

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}}$.

Hierbei ist ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ das Levi-Civita-Symbol und ${\displaystyle \delta _{ij}}$ das Kronecker-Delta.

Das doppelte Spatprodukt zweier Vektortripel ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ und ${\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}}$ ist

${\displaystyle {\begin{aligned}\,[({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}][({\vec {u}}\times {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}]=\;&{\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\vec {u}}&{\vec {v}}&{\vec {w}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}({\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}})^{\top }\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\vec {u}}&{\vec {v}}&{\vec {w}}\end{vmatrix}}\\=\;&{\begin{vmatrix}{\begin{pmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{pmatrix}}^{\top }{\begin{pmatrix}{\vec {u}}&{\vec {v}}&{\vec {w}}\end{pmatrix}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {u}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {w}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {u}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {v}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {w}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {u}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {v}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {w}}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

weil die Determinante erstens unempfindlich gegen Transponierung (.)^⊤ und zweitens nach dem Determinantenproduktsatz beim Matrixprodukt gleich dem Produkt der Determinanten der beteiligten Matrizen ist. Bei zwei identischen Vektorsätzen ist

${\displaystyle [({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}]^{2}={\begin{vmatrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\end{vmatrix}}\geq 0}$

und somit die sogenannte Gram’sche Determinante positiv definit. Wie auch das Spatprodukt allein ist diese Determinante ein Kriterium für die lineare Unabhängigkeit der Vektoren des Tripels (ungleich null bzw. größer null bei linearer Unabhängigkeit). Die Determinante gibt das Quadrat des Volumens des Spats an. Liegen zwei Spate vor, die durch Verformung auseinander hervorgehen, kann mit der Gram’schen Determinante die Volumenänderung bei der Verformung angegeben werden. Der Vorteil des Ausdrucks mit der Gram’schen Determinante ist, dass er sich auf höher dimensionale euklidische Vektorräume verallgemeinern lässt.[4]

Das Volumenelement ${\displaystyle \mathrm {d} V}$ des Volumenintegrals hängt vom verwendeten Koordinatensystem ab. In kartesischen Koordinaten ist es

${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}$.

In anderen Koordinatensystemen mit Koordinaten ${\displaystyle {x',y',z'}}$ muss es mit Hilfe des Spatproduktes der (lokalen) Basisvektoren berechnet werden. Die Basisvektoren ${\displaystyle \textstyle {\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2}}$ und ${\displaystyle \textstyle {\vec {b}}_{3}}$ an einem Punkt sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und ergeben sich aus der Koordinatentransformation

${\displaystyle {\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x(x',y',z')\\y(x',y',z')\\z(x',y',z')\end{pmatrix}}}$

durch partielle Ableitungen nach den Koordinaten ${\displaystyle {x',y',z'}}$:

${\displaystyle {\vec {b}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x'}},\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial y'}},\quad {\vec {b}}_{3}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z'}}}$.

Die Komponenten eines Basisvektors bilden jeweils eine Spalte der Jacobi-Matrix. Somit ist das Spatprodukt dieser drei Basisvektoren durch den Betrag der Funktionaldeterminante gegeben.

Nach dem Transformationssatz gilt dann für das Volumenelement:

${\displaystyle \mathrm {d} V'=\left|\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (x',y',z')}}\right|\,\mathrm {d} x'\,\mathrm {d} y'\,\mathrm {d} z'}$.

Die Bezeichnung Spatprodukt geht auf die Bezeichnung „Spat“ für ein Parallelflach (Parallelepiped, Parallelotop) zurück. In der Geologie deutet die Nachsilbe -spat auf eine gute Spaltbarkeit des betreffenden Minerals hin. Beispiele: Feldspat, Kalkspat. Diese Spate weisen klare Bruchlinien auf. Insbesondere die Kristalle des Kalkspates ähneln dem geometrischen Ideal eines Parallelflachs sehr stark. Über die Volumenberechnung eines solchen Parallelflachs bzw. Spates ergibt sich damit die Bezeichnung Spatprodukt.

• Spatprodukt-Rechner: Berechnet das Spatprodukt von drei Vektoren.

• Parallelotop

1. Doppeltes Vektorprodukt (Vorlesungsskript Klassische und relativistische Mechanik, Othmar Marti, abgerufen am 2. Oktober 2020)
2. Wolfram MathWorld: Vector Triple Product
3. D. M. Heffernan, S. Pouryahya, Maynooth University: Vector Triple Products
4. Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, S. 70, doi:10.1007/978-3-658-25272-4.

• Wolfgang Gawronski: Grundlagen der Linearen Algebra. Aula-Verlag, Wiesbaden 1996, ISBN 3-89104-566-2.
• K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 1. Akademische Verlagsgesellschaft, 1972, ISBN 3-400-00185-6.
• K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 2. Akademische Verlagsgesellschaft, 1973, ISBN 3-400-00206-2.