Smarandache-Funktion

In der Mathematik ist die Smarandache-Funktion eine Folge bzw. eine zahlentheoretische Funktion, die mit der Fakultät verwandt ist. Historisch gesehen wurde sie zuerst von Édouard Lucas[1] (1883), Joseph Neuberg[2] (1887) und Aubrey J. Kempner[3] (1918) betrachtet. 1980[4] wurde sie von Florentin Smarandache „wiederentdeckt“.

Definition und Werte

Die Smarandache-Funktion $\mu (n)$ ist definiert als die kleinste natürliche Zahl, für die $n$ die Fakultät von $\mu (n)$ teilt.

Formal ist $\mu (n)$ also die kleinste natürliche Zahl, für die gilt

n\;|\;\mu (n)!

Beispiele

Ist zum Beispiel der Wert $\mu (8)$ gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, … zu suchen, die durch 8 teilbar ist. Da $\,1!=1$ und $2!=1\cdot 2=2$ und $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ nicht durch acht teilbar sind, $4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24=3\cdot 8$ aber doch, ist $\,\mu (8)=4$ .

Allerdings ist etwa $\mu (7)=7$ , da die Zahl 7 keine der Zahlen 1!, 2!, …, 6! teilt, während sie 7! trivialerweise teilt.

Die ersten Werte sind:[5]

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
$\mu (n)$	1 (*)	2	3	4	5	3	7	4	6	5	11	4	13	7	5	6	17	6	19	5	7	11	23	4	10	13	9	7	29

(*) Der Wert $\mu (1)$ wird von manchen Autoren auch als 0 definiert.

Eigenschaften

Trivialerweise gilt

\,\mu (n)\leq n,

da ja $n$ auf jeden Fall $n!=n\cdot (n-1)!$ teilt.

Ein grundlegendes Resultat ist, dass Gleichheit in der obigen Ungleichung genau für prime $n$ oder $n=4$ eintritt:

\mu (n)=n\qquad \Leftrightarrow \qquad n{\text{ prim}}\quad {\text{oder}}\quad n=4

Beweis:

$\Rightarrow$ : Sei $\mu (n)=n$ und $n$ nicht prim. Dann ist $n=4$ zu zeigen. Da $n$ nicht prim ist, gibt es natürliche Zahlen $2\leq s\ \leq t<n$ mit $n=st$ . Wäre sogar $s<t$ , so wäre $n=st|t!$ und man erhielte den Widerspruch $\mu (n)\leq t<n$ . Also ist $s=t$ und daher $n=t^{2}$ . Wäre $2<t$ , so folgte $t<2t<t^{2}=n$ , also $t<2t\leq n-1$ und damit $n=t^{2}|t\cdot 2t|(2t)!|(n-1)!$ , und man hätte erneut den Widerspruch $\mu (n)<n$ . Daher muss $t=2$ sein und es folgt $n=4$ .

$\Leftarrow$ : Ist $n$ prim, so teilt $n$ keine Zahl $m!$ für $m<n$ , da $n$ per def. nicht in $m!$ vorkommt. Daher gilt $\mu (n)=n$ . $\mu (4)=4$ ist klar.

Übrigens ergibt sich dadurch für $\pi (x)$ , die Anzahl der Primzahlen kleinergleich $x$ und der Ganzzahlfunktion:

\pi (x)=-1+\sum _{k=2}^{x}\left\lfloor {\frac {\mu (k)}{k}}\right\rfloor

.

Nach Paul Erdős stimmt $\mu (n)$ mit dem größten Primfaktor von $n$ überein für asymptotisch fast alle $n$ , d. h. die Anzahl der Zahlen kleiner gleich $n$ , für die dies nicht gilt, ist o(n).

Allgemein gilt ferner

\,\mu (n!)=n

und

\mu (n)\geq \mathrm {gpf} (n)

wobei ${\rm {gpf}}$ für den größten Primfaktor von $n$ stehe.

Ganz allgemein gilt

\mu \left(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\alpha _{n}}\right)=\max \left[\mu \left(p_{1}^{\alpha _{1}}\right),\mu \left(p_{2}^{\alpha _{2}}\right),\ldots ,\mu \left(p_{n}^{\alpha _{n}}\right)\right]

Für (gerade) vollkommene Zahlen $n$ gilt außerdem ( $k\in \mathbb {N} ,p{\text{ prim}}$ )[6]

\mu (n)=\mu (2^{k-1}\cdot (2^{k}-1))=2^{k}-1=p

Abwandlungen

Pseudosmarandache-Funktion

Die Pseudosmarandache-Funktion $Z(n)$ ist die kleinste ganze Zahl, für die

n\;\;{\text{teilt}}\;\;1+2+3+\cdots +Z(n),

also das kleinste natürliche $n$ , für das gilt

n\;\;\left|\;\;{\frac {Z(n)(Z(n)+1)}{2}}\right.

(siehe auch Dreieckszahl, Gaußsche Summenformel)

Die ersten Werte sind

1, 3, 2, 7, 4, 3, 6, 15, 8, 4, 10, 8, 12, 7, 5, 31, 16, 8, 18, 15, … (Folge A011772 in OEIS)

Einige Eigenschaften:[7]

${\sqrt {n}}<Z(n)\leq 2n-1$
$Z(n)\leq n-1\qquad {\text{für ungerade }}n$
$Z(2^{k})=2^{k+1}-1\,$
${\frac {Z(n+1)}{Z(n)}}{\text{ und }}{\frac {Z(n-1)}{Z(n)}}{\text{ und }}{\frac {Z(2n)}{Z(n)}}$ sind nach oben hin unbegrenzt
${\frac {n}{Z(n)}}=k\;(k\in \mathbb {Z} ,k\geq 2)$ hat unendlich viele Lösungen für $n$
$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{Z(n)^{\alpha }}}$ konvergiert für alle $\alpha >1$

Smarandache-Doppelfakultät-Funktion

Ersetzt man in der Definition die Fakultät durch die Doppelfakultät

n!!={\begin{cases}n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdot \ldots \cdot 2&{\text{für }}n{\text{ gerade,}}\\n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdot \ldots \cdot 1&{\text{für }}n{\text{ ungerade,}}\end{cases}}

so ist $\mathrm {Sdf} (n)$

die kleinste natürliche Zahl, die durch

\mathrm {Sdf} (n)!!

teilbar ist.

Die ersten Werte für $\mathrm {Sdf} (n)$ sind

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 4, 9, 10, 11, 6, 13, 14, 5, 6, … (Folge A007922 in OEIS)

Smarandache-Funktion mit Primorial

Das Primorial (auch Primfakultät, $p_{\#}$ ) ist das Produkt der Primzahlen kleinergleich der gegebenen Zahl. Die Smarandache Near-to-Primorial Function[8] von $n$ ist dann die kleinste Primzahl, für die $p_{\#}+1$ , $p_{\#}-1$ oder $p_{\#}$ durch $n$ teilbar ist.

Smarandache-Kurepa-Funktion und Smarandache-Wagstaff-Funktion

Für die Smarandache-Kurepa-Funktion $\mathrm {SK} (n)$ wandle man die Fakultät nicht zur Doppelfakultät, sondern zu folgender Funktion ab:

f(n)=\sum _{k=0}^{n-1}k!=0!+1!+2!+\ldots +(n-1)!

Für prime $p$ ist $\mathrm {SK} (p)$ analog die kleinste natürliche Zahl, sodass $f(\mathrm {SK} (p))$ durch $p$ teilbar ist.[9]

Die ersten Werte sind 2, 4, 6, 6, 5, 7, 7, 12, 22, 16, 55 und bilden Folge A049041 in OEIS.

Die Smarandache-Wagstaff-Funktion verwendet stattdessen[10]

f(n)=\sum _{k=1}^{n}k!=1!+2!+\ldots +n!

Smarandache-Ceil-Funktion

Die Smarandache-Wagstaff-Funktion k-ter Ordnung $S_{k}(n)$ schließlich ist als die kleinste natürliche Zahl definiert, für die $\,[S_{k}(n)]^{k}$ durch $n$ teilbar ist.[11]

Die ersten Werte:

$k$	$S_{k}(n)$
1	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …	$n$
2	1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 4, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, …	(Folge A019554 in OEIS)
3	1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, …	(Folge A019555 in OEIS)
4	1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, …	(Folge A053166 in OEIS)

Weiteres

Tutescu[12] vermutete, dass für zwei aufeinanderfolgende Zahlen deren Werte der Smarandache-Funktion stets verschieden sind:

\mu (n)\not =\mu (n+1)\qquad \quad {\text{für alle }}n

Die Vermutung wurde bis

10^{9}

bestätigend nachgerechnet.

Es gibt eine recht große Vielfalt konvergenter Reihen, die die Smarandache-Funktion verwenden. Derartige Grenzwerte werden oft als Smarandache-Konstanten bezeichnet – nicht zu verwechseln mit der Smarandache-Konstante in der verallgemeinerten Andricaschen Vermutung.

Die Reihe der Kehrwerte der Fakultäten der Smarandache-Funktion konvergiert (erste Smarandache-Konstante):

\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\mu (n)!}}=1{,}09317\dots

(Folge A048799 in OEIS)

Literatur

Kenichiro Kashihara: Comments and topics on Smarandache notions and problems. (PDF; 1,6 MB) Erhus University Press 1996, ISBN 1-87958-555-3.
Norbert Hungerbühler, Ernst Specker: A Generalisation of the Smarandache Function to Several Variables. (PDF; 220 kB) In: Electronic Journal of Combinatorical Number Theory, 6, 2006, #A23.
C. Dumitrescu, N. Virlan, St. Zamfir, E. Radescu, N. Radescu, F.Smarandache: Smarandache Type Function Obtained by Duality. In: Studii si Cercetari Stiintifice, Seria: Matematica, University of Bacau, No. 9, 1999, S. 49–72, arxiv:0706.2858.
Sebastian Martin Ruiz, M. L. Perez: Properties and Problems related to Smarandache Type Functions. In: Mathematics Magazine for grades 1-12, 2/2004, S. 46–53, arxiv:math/0407479.

Weblinks

Eric W. Weisstein: Smarandache Function. In: MathWorld (englisch).
Das Smarandache Function Journal, fs.gallup.unm.edu – Vol. 1 (PDF; 1,6 MB), Vol. 6 (PDF; 2,6 MB)
und Smarandache Notions Journal – Vol. 7 (PDF; 5,4 MB), Vol. 8 (PDF; 8,8 MB), Vol. 9 (PDF; 5,0 MB), Vol. 10 (PDF; 7,3 MB), Vol. 11 (PDF; 10,8 MB), Vol. 12 (PDF; 12,5 MB), Vol. 13 (PDF; 11,1 MB)

Einzelnachweise

E. Lucas: Question Nr. 288. In: Mathesis, 3, 1883, S. 232
J. Neuberg: Solutions de questions proposées, Question Nr. 288. In: Mathesis, 7, 1887, S. 68–69
Aubrey J. Kempner: Miscellanea. In: American Mathematical Monthly, 25, 1918, S. 201–210, doi:10.2307/2972639
Florentin Smarandache: A Function in Number Theory. In: An. Univ. Timişoara, Ser. St. Mat., 18, 1980, S. 79–88. arxiv:math/0405143
Folge A002034 in OEIS
Sebastián Martín Ruiz: Smarandache’s function applied to perfect numbers. In: Smarandache Notions Journal, Vol. 10, Frühjahr 1999, S. 114. arxiv:math/0406241
R.G.E. Pinch: arxiv:math/0504118 in arXiv, 6. April 2005
Eric W. Weisstein: Smarandache Near-to-Primorial Function. In: MathWorld (englisch).
Eric W. Weisstein: Smarandache-Kurepa Function. In: MathWorld (englisch).
Eric W. Weisstein: Smarandache-Wagstaff Function. In: MathWorld (englisch).
Eric W. Weisstein: Smarandache Ceil Function. In: MathWorld (englisch).
L. Tutescu: On a Conjecture Concerning the Smarandache Function. Abstracts of Papers Presented to the American Mathematical Society 17, S. 583, 1996

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[1] E. Lucas: Question Nr. 288. In: Mathesis, 3, 1883, S. 232

[2] J. Neuberg: Solutions de questions proposées, Question Nr. 288. In: Mathesis, 7, 1887, S. 68–69

[3] Aubrey J. Kempner: Miscellanea. In: American Mathematical Monthly, 25, 1918, S. 201–210, doi:10.2307/2972639

[4] Florentin Smarandache: A Function in Number Theory. In: An. Univ. Timişoara, Ser. St. Mat., 18, 1980, S. 79–88. arxiv:math/0405143

[5] Folge A002034 in OEIS

[6] Sebastián Martín Ruiz: Smarandache’s function applied to perfect numbers. In: Smarandache Notions Journal, Vol. 10, Frühjahr 1999, S. 114. arxiv:math/0406241

[7] R.G.E. Pinch: arxiv:math/0504118 in arXiv, 6. April 2005

[8] Eric W. Weisstein: Smarandache Near-to-Primorial Function. In: MathWorld (englisch).

[9] Eric W. Weisstein: Smarandache-Kurepa Function. In: MathWorld (englisch).

[10] Eric W. Weisstein: Smarandache-Wagstaff Function. In: MathWorld (englisch).

[11] Eric W. Weisstein: Smarandache Ceil Function. In: MathWorld (englisch).

[12] L. Tutescu: On a Conjecture Concerning the Smarandache Function. Abstracts of Papers Presented to the American Mathematical Society 17, S. 583, 1996