Slawnow-Taylor-Identität

Die Slawnow-Taylor-Identitäten sind eine Klasse von Beziehungen in der Quantenfeldtheorie, die Vakuumerwartungswerte von zeitgeordneten Größen, die sogenannten Korrelationsfunktionen, miteinander verknüpft. Sie verallgemeinern die Ward-Takahashi-Identität der Quantenelektrodynamik auf nichtabelsche Yang-Mills-Theorien, insbesondere die Quantenchromodynamik, also die Theorie der starken Wechselwirkung. Die Slawnow-Taylor-Identitäten wurden unabhängig voneinander 1971 von John C. Taylor[1] und 1972 von Andrei Slawnow[2] entdeckt.

Die Slawnow-Taylor-Identitäten folgen aus der BRST-Symmetrie, da die Physik invariant unter BRST-Symmetrieoperationen sein muss. Das heißt, eine Modifikation aller Felder ${\displaystyle \Phi \to \Phi '=\Phi +\delta \Phi }$ darf die Physik nicht verändern. Insbesondere gilt dies für das erzeugende Funktional

${\displaystyle {\mathcal {Z}}[J]=\int \prod _{i=1}^{n}{\mathcal {D}}[\Phi _{i}]\exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{4}x\left({\mathcal {L}}+\sum _{j=1}^{n}J_{j}(x)\Phi _{j}(x)\right)\right)}$

im Pfadintegral-Formalismus der Quantenfeldtheorie. Das heißt, es gilt

${\displaystyle \delta {\mathcal {Z}}={\mathcal {Z}}'-{\mathcal {Z}}=0}$.

Da die Lagrangedichte ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ und das Pfadintegral bereits invariant unter BRST-Operationen sind, es ist also ${\displaystyle {\mathcal {L}}'={\mathcal {L}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}\Phi '={\mathcal {D}}\Phi }$, und die BRST-Symmetrie auf nilpotenten Graßmann-Zahlen beruht, folgt daraus

${\displaystyle \int \prod {\mathcal {D}}\Phi _{i}\exp \left({\mathcal {i}}\int \mathrm {d} ^{4}x\left({\mathcal {L}}+\sum J_{j}(x)\Phi _{j}(x)\right)\right)\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{4}yJ_{i}(y)\delta \Phi _{i}(y)=0}$

Die zeitgeordneten Vakuumerwartungswerte erhält man nun, indem nach den entsprechenden ${\displaystyle J}$ differenziert wird und danach alle ${\displaystyle J}$ gleich Null gesetzt werden. Da bei diesem Vorgehen immer genau ein ${\displaystyle \delta \Phi }$ übrig bleibt, folgt

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\langle T(\delta \Phi _{1})\Phi _{2}\dots \Phi _{n}\rangle +\dots +\langle T\Phi _{1}\dots \Phi _{n-1}(\delta \Phi _{n})\rangle \\&=\delta \langle T\Phi _{1}\dots \Phi _{n}\rangle \end{aligned}}}$

Dies ist die Slawnow-Taylor-Identität.