Situationskalkül

Die Durchführung einer Aktion a führt zu einer Nachfolgesituation ${\displaystyle s_{i+1}}$, die von der vorherigen Situation ${\displaystyle s_{i}}$ und der durchgeführten Aktion abhängig ist. Das lässt sich formal durch eine binäre Funktion ${\displaystyle do(a,s)}$ ausdrücken: ${\displaystyle s_{i+1}=do(a,s_{i})}$. Nicht jede Aktion lässt sich in jeder Situation durchführen. Die Durchführbarkeit lässt sich mit Hilfe des Prädikats ${\displaystyle Poss(a,s)}$ definieren, welches in allen Situationen wahr ist, in denen die Aktion erlaubt ist. Für diese Definition sind häufig situationsabhängige Prädikate notwendig. Relationen, die ihren Wahrheitswert über die Zeit ändern, heißen Fluents.

Als Beispiel dient ein Schrank mit mehreren Schubladen. Aus den Schubladen können Gegenstände genommen werden, die Schubladen können geöffnet und geschlossen werden. Dieser Sachverhalt lässt sich folgendermaßen beschreiben:

• Geschlossene Schubladen können geöffnet werden! → Die Schublade x lässt sich genau in den Situationen s öffnen, in denen sie geschlossen ist.

${\displaystyle {\textrm {Poss}}({\mathit {oeffneSchublade}}(x),s)\equiv {\mathit {istGeschlossen}}(x,s)}$

• Wenn man eine Schublade öffnet, dann ist sie danach geöffnet! → Wird die Schublade x in einer Situation s geöffnet, so folgt daraus, dass sie in der darauffolgenden Situation nicht mehr geschlossen ist.

${\displaystyle {\textrm {Poss}}({\mathit {oeffneSchublade}}(x),s)\rightarrow \neg {\mathit {istGeschlossen}}(x,{\textrm {do}}({\mathit {oeffneSchublade}}(x),s))}$

• Gegenstände, die sich in einer geöffneten Schublade befinden, können herausgenommen werden! → Der Gegenstand y kann genau in den Situationen s aus der Schublade x genommen werden, in denen gleichzeitig die Schublade nicht geschlossen ist und sich der Gegenstand in der Schublade befindet.

${\displaystyle {\textrm {Poss}}({\mathit {nimmAusSchublade}}(x,y),s)\equiv \neg {\mathit {istGeschlossen}}(x,s)\wedge {\mathit {istInSchublade}}(x,y,s)}$

• Nimmt man einen Gegenstand raus, dann ist er danach nicht mehr in der Schublade! → Wird der Gegenstand y in einer Situationen s aus der Schublade x genommen, so befindet sich der Gegenstand in der nachfolgenden Situation nicht mehr in der Schublade.

${\displaystyle {\textrm {Poss}}({\mathit {nimmAusSchublade}}(x,y),s)\rightarrow \neg {\mathit {istInSchublade}}(x,y,{\textrm {do}}({\mathit {nimmAusSchublade}}(x,y),s))}$

• Geöffnete Schubladen können geschlossen werden! → Die Schublade x lässt sich genau in den Situationen s schließen, in denen sie nicht geschlossen ist.

${\displaystyle {\textrm {Poss}}({\mathit {schliesseSchublade}}(x),s)\equiv \neg {\mathit {istGeschlossen}}(x,s)}$

• Wenn man eine Schublade schließt, dann ist sie danach geschlossen! → Wird die Schublade x in einer Situation s geschlossen, so folgt daraus, dass sie in der darauffolgenden Situation geschlossen ist.

${\displaystyle {\textrm {Poss}}({\mathit {schliesseSchublade}}(x),s)\rightarrow {\mathit {istGeschlossen}}(x,{\textrm {do}}({\mathit {schliesseSchublade}}(x),s))}$

Das vorangegangene Beispiel führt direkt zum Rahmenproblem, da die Klauseln noch nicht ausreichen, um die Welt zu beschreiben. Es fehlen noch triviale Klauseln, die nur aussagen, dass alle anderen Dinge durch die Aktionen nicht verändert werden. Diese Klauseln werden schon bei kleinen Welten außerordentlich zahlreich: Bei 100 verschiedenen Aktionen mit 50 Fluenten sind schon zirka 10000 Klauseln zur Beschreibung notwendig. Raymond Reiter[1] hat für dieses Problem 1991 eine Lösung gefunden, die nur eine Klausel zur Darstellung eines Fluenten benötigt:

• Wenn es möglich ist, eine Aktion a in einer Situation s durchzuführen, dann folgt daraus, dass die Schublade genau dann in der Nachfolgesituation geschlossen ist, wenn entweder die Aktion a das Schließen der Schublade war oder wenn die Schublade vorher schon geschlossen war, und es sich bei der Aktion nicht um das Öffnen der Schublade gehandelt hat.

${\displaystyle {\textrm {Poss}}(a,s)\rightarrow [{\mathit {istGeschlossen}}(x,{\textrm {do}}(a,s))\equiv [\,\,a={\mathit {schliesseSchublade}}(x)\,\,\vee \,\,{\mathit {istGeschlossen}}(x,s)\,\wedge \,a\neq {\mathit {oeffneSchublade}}(x)\,\,]]}$

Dieser Lösungsansatz ist unter dem Namen Successor State Axiom bekannt.

Die Axiome sind folgende Klauseln, die in jeder Welt gelten:

Es gibt genau eine Anfangssituation ${\displaystyle S_{0}}$, keine Situation ${\displaystyle s}$ liegt vor der Anfangssituation

${\displaystyle \neg (s\sqsubset S_{0})}$

Jede Situation ist einmalig. Wenn zwei Situationen gleich sind, die durch die Aktion ${\displaystyle a_{1}}$ in der Situation ${\displaystyle s_{1}}$ und durch die Aktion ${\displaystyle a_{2}}$ in der Situation ${\displaystyle s_{2}}$ entstanden sind, dann sind sowohl die Situationen ${\displaystyle s_{1}}$ und ${\displaystyle s_{2}}$ gleich, als auch die Aktionen ${\displaystyle a_{1}}$ und ${\displaystyle a_{2}}$.

${\displaystyle {\textrm {do}}(a_{1},s_{1})\!=\!{\textrm {do}}(a_{2},s_{2})\;\rightarrow \;a_{1}\!=\!a_{2}\,\wedge \,s_{1}\!=\!s_{2}}$

Eine Aussage ist in allen Situationen wahr, wenn sie in der Anfangssituation wahr ist, und die Aussage auch nach Durchführung einer beliebigen Aktion in einer beliebigen Situation wahr bleibt.

${\displaystyle \forall {\textrm {P}}.\quad {\textrm {P}}(S_{0})\,\wedge \,\forall a\,\forall s\left[{\textrm {P}}(s)\!\rightarrow \!{\textrm {P}}({\textrm {do}}(a,s))\right]\;\rightarrow \;\forall s\,{\textrm {P}}(s)}$

Ein Teil der Situationen ist sortierbar. Der Vergleichsoperator ${\displaystyle \sqsubset }$ wird rekursiv definiert: Eine Situation ${\displaystyle s_{1}}$, die vor einer Situation ${\displaystyle {\textrm {do}}(a,s_{2})}$ liegt, die sich durch Ausführung der Aktion ${\displaystyle a}$ in der Situation ${\displaystyle s_{2}}$ ergibt, ist entweder die Situation ${\displaystyle s_{2}}$ oder eine Situation, die vor ${\displaystyle s_{2}}$ liegt.

${\displaystyle s_{1}\sqsubset {\textrm {do}}(a,s_{2})\,\,\equiv \,\,s_{1}\!=\!s_{2}\,\vee \,s_{1}\sqsubset s_{2}\,\,\equiv \,\,s_{1}\sqsubseteq s_{2}}$

Wenn man als Anfangsbedingung setzt, dass sich ein Ball in der geschlossenen linken Schublade befindet, und als Ziel, dass der Ball sich dort nicht mehr befinden soll, lässt sich unter Berücksichtigung aller Klauseln ein Plan berechnen, der die linke Schublade öffnet und den Ball aus der Schublade nimmt.

• Logikkalkül

• Hermann Scheffler: Der Situationskalkul. Versuch einer arithmetischen Darstellung der niederen und höheren Geometrie auf Grund einer abstrakten Auffassung der räumlichen Größen, Formen und Bewegungen. Braunschweig, Friedrich Vieweg, 1851.
• Christoph Beierle, Gabriele Kern-Isberner: Methoden wissensbasierter Systeme: Grundlagen, Algorithmen, Anwendungen. Teubner-Verlag, 2008, S. 304.
• Raymond Reiter: Knowledge in Action. Logical Foundations for Specifying and Implementing Dynamical Systems. 2001, ISBN 0-262-18218-1.
• Raymond Reiter: The frame problem in the situation calculus: a simple solution (sometimes) and a completeness result for goal regression. In: Vladimir Lifschitz (Hrsg.): Artificial Intelligence and Mathematical Theory of Computation: Papers in Honor of John McCarthy, S. 359–380. Academic Press, New York, 1991. ISBN 0-124-50010-2.

1. http://prism.cs.umd.edu/papers/Min02:reiter_memoriam/Min02:reiter_memoriam.html