Sinus und Kosinus

Dreieck mit den Punkten A, B, C und den bzw. gegenüberliegenden Seiten a, b, c

Dreieck ABC mit einem rechten Winkel ${\displaystyle \gamma }$ in C (Benennung von An- und Gegenkathete unter der Annahme, dass sich diese Begriffe auf den Winkel ${\displaystyle \alpha }$ beziehen)

Alle ebenen, zueinander ähnlichen Dreiecke haben gleiche Winkel und gleiche Längenverhältnisse der Seiten.

Diese Eigenschaft wird benutzt, um Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck durchzuführen. Sind nämlich die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck bekannt, lassen sich die Maße von Winkeln und die Längen von Seiten berechnen. Deshalb haben die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck auch besondere Namen.

Die Längenverhältnisse der drei Seiten im rechtwinkligen Dreieck sind nur vom Maß eines der beiden spitzen Winkel abhängig. Denn die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180°. Und weil im rechtwinkligen Dreieck ein Winkel, nämlich der rechte Winkel, mit 90° bekannt ist, müssen die beiden anderen Winkel in der Summe ebenfalls 90° ergeben. Deswegen wird das Maß eines dieser Winkel durch das Maß des anderen Winkels bereits festgelegt. Aufgrund der Kongruenzsätze (z. B. WSW) hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur noch vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab.

Deshalb werden die Längenverhältnisse in Abhängigkeit eines der beiden spitzen Winkel wie folgt definiert:

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Länge der Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel).

${\displaystyle {\text{Sinus eines Winkels}}={\frac {\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}}}$

Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.

${\displaystyle {\text{Kosinus eines Winkels}}={\frac {\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}}}$

Bei den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen (siehe Abbildung) gilt hier:

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}}\quad {\text{und}}\quad \cos \alpha ={\frac {b}{c}}}$

Da die Hypotenuse die längste Seite eines Dreiecks ist (denn sie liegt dem größten Winkel, also dem rechten Winkel, gegenüber), gelten die Ungleichungen ${\displaystyle \sin \alpha \leq 1}$ und ${\displaystyle \cos \alpha \leq 1}$.

Wird statt von α von dem gegenüberliegenden Winkel β ausgegangen, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α wird zur Gegenkathete von β, die Gegenkathete von α bildet nun die Ankathete von β und es gilt:

${\displaystyle \sin \beta ={\frac {b}{c}}}$

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {a}{c}}}$

Da im rechtwinkligen Dreieck ${\displaystyle \alpha +\beta =90^{\circ }}$ gilt, folgt:

${\displaystyle \cos \alpha =\sin(90^{\circ }-\alpha )=\sin \beta }$

und

${\displaystyle \sin \alpha =\cos(90^{\circ }-\alpha )=\cos \beta }$

Auf dieser Beziehung beruht auch die Bezeichnung Kosinus als Sinus des Komplementärwinkels.

Aus dem Satz des Pythagoras lässt sich die Beziehung („trigonometrischer Pythagoras“) ableiten:

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$

Im rechtwinkligen Dreieck sind Sinus und Kosinus nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad definiert. Für beliebige Winkel wird der Wert der Kosinusfunktion als ${\displaystyle x}$-Koordinate und der Wert der Sinusfunktion als ${\displaystyle y}$-Koordinate eines Punktes am Einheitskreis (siehe unten) definiert. Hier ist es üblich, den Wert, auf den die Funktion angewendet wird (hier: den Winkel), als Argument zu bezeichnen. Dies betrifft insbesondere die Winkelfunktionen und die komplexe Exponentialfunktion (siehe unten).

Definition des Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis im ersten Quadranten

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete nur für Werte von 0 bis 90 Grad definiert. Für eine allgemeine Definition wird ein Punkt ${\displaystyle P}$ mit den Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}$ auf dem Einheitskreis betrachtet, hier gilt ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$. Die positive ${\displaystyle x}$-Achse schließt mit dem Ortsvektor von ${\displaystyle P}$ einen Winkel ${\displaystyle \alpha }$ ein. Der Koordinatenursprung ${\displaystyle (0,0)}$, der Punkt ${\displaystyle (x,0)}$ auf der ${\displaystyle x}$-Achse und der Punkt ${\displaystyle P(x,y)}$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=1}$. Die Ankathete des Winkels ${\displaystyle \alpha }$ ist die Strecke zwischen ${\displaystyle (0,0)}$ und ${\displaystyle (x,0)}$ und hat die Länge ${\displaystyle |x|}$. Es gilt:

${\displaystyle \cos \alpha =x}$

Die Gegenkathete des Winkels ${\displaystyle \alpha }$ ist die Strecke zwischen ${\displaystyle (x,0)}$ und ${\displaystyle (x,y)}$ und hat die Länge ${\displaystyle |y|}$. Somit gilt:

${\displaystyle \sin \alpha =y}$

Wegen des Strahlensatzes ist die folgende Definition des Tangens wohldefiniert:

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}}$

Die ${\displaystyle x}$-Koordinate eines Punktes im ersten Quadranten des Einheitskreises ist also der Kosinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der ${\displaystyle x}$-Achse, während die ${\displaystyle y}$-Koordinate der Sinus dieses Winkels ist. Die Fortsetzung über den ersten Quadranten hinaus ergibt eine Definition von Sinus und Kosinus für beliebige Winkel.

Die Umkehrungen der Sinus- und Kosinusfunktion sind nicht eindeutig. Zu jeder Zahl ${\displaystyle y}$ zwischen −1 und 1 (${\displaystyle -1<y<1}$) gibt es schon zwischen 0° und 360° (${\displaystyle 0^{\circ }<\alpha \leq 360^{\circ }}$) immer genau zwei Winkel. Symmetrien der Winkelfunktionen erkennt man an folgenden Beziehungen:

Punktsymmetrien:

${\displaystyle \sin(-\alpha )=-\sin \alpha }$

${\displaystyle \cos(90^{\circ }+\alpha )=-\cos(90^{\circ }-\alpha )}$

Achsensymmetrien:

${\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos \alpha }$

${\displaystyle \sin(90^{\circ }+\alpha )=\sin(90^{\circ }-\alpha )}$

Der Sinus ist also eine ungerade Funktion, der Kosinus eine gerade.

Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen mit der Periode 360 Grad. (Man kann einen Winkel von beispielsweise 365° nicht von einem Winkel von 5° unterscheiden. Aber der eine beschreibt eine Drehbewegung von reichlich einer Umdrehung, der andere eine sehr kleine Drehbewegung ‒ nur eine zweiundsiebzigstel Umdrehung.) Also gilt auch

${\displaystyle \sin(\alpha +k\cdot 360^{\circ })=\sin \alpha }$

sowie

${\displaystyle \cos(\alpha +k\cdot 360^{\circ })=\cos \alpha }$,

wobei ${\displaystyle k}$ eine beliebige ganze Zahl ist. Es gibt also nicht nur die Symmetrien zu ${\displaystyle \alpha =0^{\circ }}$ (cos) bzw. ${\displaystyle \alpha =90^{\circ }}$ (sin) und zu ${\displaystyle (0^{\circ }|0)}$ (sin) bzw. ${\displaystyle (90^{\circ }|0)}$ (cos), sondern unendlich viele Symmetrieachsen und Symmetriezentren für beide Funktionen.

Die Entstehung der Sinus- und Kosinusfunktion aus der Drehbewegung eines Winkelschenkels beginnend bei der ${\displaystyle x}$-Achse veranschaulicht folgende Animation. Der Winkel wird im Bogenmaß gemessen. Ein Winkel von ${\displaystyle 360^{\circ }}$ entspricht einem Bogenmaß von ${\displaystyle 2\pi }$.

Animation zur Konstruktion der Sinus- und Kosinusfunktion

${\displaystyle \cos(x)}$ zusammen mit den ersten Taylorpolynomen ${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}$

Diese Animation illustriert die Definition der Sinusfunktion durch eine Reihe. Je größer die Zahl ${\displaystyle N}$ ist, desto mehr Summanden werden in der Reihendefinition verwendet. So ist bei ${\displaystyle N=2}$ neben der Sinusfunktion zusätzlich das kubische Polynom ${\displaystyle \sum _{k=0}^{1}{\tfrac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}=x-{\tfrac {x^{3}}{6}}}$ eingezeichnet.

Sinus und Kosinus sind als Funktionen von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ erklärt. Sie sind beliebig oft differenzierbar. Für die Ableitungen im Nullpunkt gilt:

${\displaystyle \sin ^{(4n+k)}0=\sin {\frac {k\,\pi }{2}}=\left\{{\begin{matrix}0&{\text{wenn }}k=0\\1&{\text{wenn }}k=1\\0&{\text{wenn }}k=2\\-1&{\text{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \cos ^{(4n+k)}0=\cos {\frac {k\,\pi }{2}}=\left\{{\begin{matrix}1&{\text{wenn }}k=0\\0&{\text{wenn }}k=1\\-1&{\text{wenn }}k=2\\0&{\text{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.}$

Die sich daraus ergebenden Taylorreihen stellen die Funktionen ${\displaystyle \sin }$ und ${\displaystyle \cos }$ dar, das heißt:

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}\mp \dotsb }$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}={\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\mp \dotsb }$

In der Analysis geht man umgekehrt von den Reihenentwicklungen aus und leitet daraus alles her, indem die Funktionen sin und cos durch die oben angegebenen Potenzreihen erklärt werden. Mit dem Quotientenkriterium lässt sich zeigen, dass diese Potenzreihen für jede komplexe Zahl ${\displaystyle x}$ absolut und in jeder beschränkten Teilmenge der komplexen Zahlen gleichmäßig konvergieren. Diese unendlichen Reihen verallgemeinern die Definition des Sinus und des Kosinus von reellen auf komplexe Argumente. Auch ${\displaystyle \pi }$ wird dort üblicherweise nicht geometrisch, sondern beispielsweise über die cos-Reihe und die Beziehung ${\displaystyle \cos {\tfrac {\pi }{2}}=0}$ als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion definiert. Damit ist eine präzise analytische Definition von ${\displaystyle \pi }$ gegeben.

Für kleine Werte zeigen diese Reihen ein sehr gutes Konvergenzverhalten. Zur numerischen Berechnung lassen sich daher die Periodizität und Symmetrie der Funktionen ausnutzen und der ${\displaystyle x}$-Wert bis auf den Bereich ${\displaystyle -\pi /4}$ bis ${\displaystyle \pi /4}$ reduzieren. Danach sind je nach geforderter Genauigkeit nur noch relativ wenige Glieder der Reihe zu berechnen. Das Taylorpolynom der Kosinusfunktion bis zur vierten Potenz z. B. hat im Intervall ${\displaystyle [-\pi /4,\pi /4]}$ einen relativen Fehler von unter 0,05 %. Im Artikel Taylor-Formel sind einige dieser Taylorpolynome grafisch dargestellt und man findet eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe. Zu beachten ist allerdings, dass die Teilsummen der Taylorpolynome nicht die bestmögliche numerische Approximation darstellen; beispielsweise in Abramowitz-Stegun finden sich Näherungspolynome mit noch kleinerem Approximationsfehler.[3]

Der Realteil von ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }}$ ist ${\displaystyle \cos \theta }$ und der Imaginärteil ist ${\displaystyle \sin \theta }$

Die trigonometrischen Funktionen sind eng mit der Exponentialfunktion verbunden, wie folgende Rechnung zeigt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{k}}{k!}}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{2l}}{(2l)!}}+\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{2l+1}}{(2l+1)!}}\\&=\underbrace {\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{\frac {x^{2l}}{(2l)!}}} _{\cos x}+\mathrm {i} \underbrace {\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{\frac {x^{2l+1}}{(2l+1)!}}} _{\sin x}\\&=\cos x+\mathrm {i} \sin x\end{aligned}}}$

Dabei wurde verwendet:

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2l}=(\mathrm {i} ^{2})^{l}=(-1)^{l}}$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2l+1}=\mathrm {i} \cdot \mathrm {i} ^{2l}=\mathrm {i} \cdot (-1)^{l}}$

Beziehung zwischen Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion

Somit ergibt sich die sogenannte Eulerformel:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}=\cos x+\mathrm {i} \cdot \sin x}$

Für eine reelle Zahl ${\displaystyle x}$ ist also ${\displaystyle \cos(x)}$ der Realteil und ${\displaystyle \sin(x)}$ der Imaginärteil der komplexen Zahl ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$.

Durch Ersetzung von ${\displaystyle x}$ durch ${\displaystyle -x}$ ergibt sich:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}=\cos x-\mathrm {i} \cdot \sin x}$

Diese und die vorangegangenen Gleichungen lassen sich nach den trigonometrischen Funktionen auflösen. Es folgt:

${\displaystyle \sin x={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}$

${\displaystyle \cos x={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}$

Diese Gleichungen gelten nicht nur für reelle Argumente, sondern für beliebige komplexe Zahlen. Somit ergibt sich eine alternative Definition für die Sinus- und Kosinusfunktion. Durch Einsetzen der Exponentialreihe leiten sich die oben vorgestellten Potenzreihen ab.

Ausgehend von dieser Definition lassen sich viele Eigenschaften, wie zum Beispiel die Additionstheoreme des Sinus und Kosinus, nachweisen.

Der Sinus ist die Umkehrfunktion des Integrals zur Berechnung der Bogenlänge ${\displaystyle s(r)}$

${\displaystyle s(r)=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\qquad {\text{und}}\qquad \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}={\frac {\pi }{2}},}$

also ${\displaystyle r=\sin s}$ und ${\displaystyle \cos s=\sin({\tfrac {\pi }{2}}-s)}$ (siehe unten).

Die Definition des Sinus und Kosinus als Potenzreihe liefert einen sehr bequemen Zugang, da die Differenzierbarkeit durch die Definition als konvergente Potenzreihe automatisch gegeben ist. Die Eulerformel ist ebenfalls eine einfache Konsequenz aus den Reihendefinitionen, da sich die Reihen für ${\displaystyle \cos }$ und ${\displaystyle \mathrm {i} \sin }$ ganz offenbar zur Exponentialfunktion zusammenfügen, wie oben gezeigt wurde. Durch Betrachtung der Funktion ${\displaystyle x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$, die das Intervall ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ auf die Kreislinie abbildet, ergibt sich die Beziehung zur Geometrie, denn ${\displaystyle \cos(x)}$ und ${\displaystyle \sin(x)}$ sind nichts weiter als der Real- bzw. Imaginärteil von ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$, das heißt die Projektionen dieses Punktes auf die Koordinatenachsen.

Neben ${\displaystyle x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$ gibt es auch andere sinnvolle Parametrisierungen des Einheitskreises, etwa

${\displaystyle \gamma (t)=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right),\quad -\infty <t<\infty .}$

Geht man von dieser Formel aus, erhält man einen alternativen Zugang. Die Länge dieser Kurve wird auch als Bogenlänge bezeichnet und berechnet sich zu

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}|{\dot {\gamma }}(\tau )|\,\mathrm {d} \tau =\int _{0}^{t}{\frac {2\,\mathrm {d} \tau }{\tau ^{2}+1}}.}$

Wie leicht zu zeigen ist, ist ${\displaystyle s(t)}$ ungerade, stetig, streng monoton wachsend und beschränkt. Da die gesamte Bogenlänge dem Kreisumfang entspricht, folgt, dass das Supremum von ${\displaystyle s(t)}$ gleich ${\displaystyle \pi }$ ist; ${\displaystyle \pi }$ wird bei dieser Vorgangsweise analytisch als Supremum von ${\displaystyle s(t)}$ definiert.

Die Funktion

${\displaystyle s(t)\colon \mathbb {R} \to (-\pi ,\pi )}$

ist auch differenzierbar:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {2}{1+t^{2}}}}$

Weil sie stetig und streng monoton wachsend ist, ist sie auch invertierbar, und für die Umkehrfunktion

${\displaystyle t(s)\colon (-\pi ,\pi )\to \mathbb {R} }$

gilt:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} s}}={\frac {1+t^{2}(s)}{2}}}$

Mit Hilfe dieser Umkehrfunktion ${\displaystyle t(s)}$ lassen sich nun Sinus und Kosinus als ${\displaystyle y}$- und ${\displaystyle x}$-Komponente von ${\displaystyle \gamma }$ analytisch definieren:

${\displaystyle \sin s:={\frac {2t(s)}{1+t^{2}(s)}}}$

${\displaystyle \cos s:={\frac {1-t^{2}(s)}{1+t^{2}(s)}}}$

Bei dieser Definition des Sinus und Kosinus über die analytische Berechnung der Bogenlänge werden die geometrischen Begriffe sauber formalisiert. Sie hat allerdings den Nachteil, dass im didaktischen Aufbau der Analysis der Begriff der Bogenlänge erst sehr spät formal eingeführt wird und daher Sinus und Kosinus erst relativ spät verwendet werden können.

Ein anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer Funktionalgleichung zu definieren, die im Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar stetiger Funktionen ${\displaystyle \sin ,\cos \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, das für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ die Gleichungen

${\displaystyle \sin(x+y)=\sin x\,\cos y+\cos x\,\sin y}$

${\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\,\cos y-\sin x\,\sin y}$

erfüllt. Die Lösung ${\displaystyle \sin }$ definiert dann den Sinus, die Lösung ${\displaystyle \cos }$ den Kosinus. Um Eindeutigkeit zu erreichen, sind einige Zusatzbedingungen zu erfüllen. In Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1 wird zusätzlich gefordert, dass

${\displaystyle \sin x}$ eine ungerade Funktion,

${\displaystyle \cos x}$ eine gerade Funktion,

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$ und

${\displaystyle \cos 0=1}$

ist. Bei diesem Zugang wird offensichtlich die Differenzierbarkeit des Sinus an der Stelle 0 vorausgesetzt; ${\displaystyle \pi }$ wird in weiterer Folge analytisch als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus definiert. Verwendet man den Zugang von Leopold Vietoris[4] und berechnet die Ableitung des Sinus aus den Additionstheoremen, so ist es zweckmäßiger, ${\displaystyle \pi }$ auf geeignete Weise analytisch (beispielsweise als Hälfte des Grenzwerts des Umfangs des dem Einheitskreis eingeschriebenen ${\displaystyle 2^{n}}$-Ecks) zu definieren und dann die Differenzierbarkeit der Lösung dieser Funktionalgleichung zu beweisen. Als Zusatzbedingung zu den Additionstheoremen fordert man dann beispielsweise:

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=1}$,

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$ und

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2n}}\neq 0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \backslash \lbrace 1\rbrace }$.

Unter den gewählten Voraussetzungen ist die Eindeutigkeit der Lösung der Funktionalgleichung relativ einfach zu zeigen; die geometrisch definierten Funktionen Sinus und Kosinus lösen auch die Funktionalgleichung. Die Existenz einer Lösung lässt sich analytisch beispielsweise durch die Taylorreihen von Sinus und Kosinus oder eine andere der oben verwendeten analytischen Darstellungen von Sinus und Kosinus die Funktionalgleichung nachweisen und tatsächlich lösen.

Die Kreisfunktionen Sinus und Cosinus haben folgende zwei Produktentwicklungen:

${\displaystyle \sin {x}=\prod _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {x+k\pi }{{\frac {\pi }{2}}+k\pi }}=x\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\pi ^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \cos {x}=\prod _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {x+k\pi +{\frac {\pi }{2}}}{{\frac {\pi }{2}}+k\pi }}=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right)}$

Die genannte Produktentwicklung für den Sinus zog der schweizerische Mathematiker Leonhard Euler für den Beweis vom Basler Problem heran.

Der ebenso nach diesem Mathematiker benannte Eulersche Ergänzungssatz für die Fakultätsfunktion 𝚷(n) liefert in Kombination mit der Eulerschen Produktdefinition der Fakultätsfunktion direkt die gezeigte Produktformel für die trigonometrische Sinusfunktion:

${\displaystyle \sin(x)={\frac {x}{\Pi (x\div \pi )\,\Pi (-x\div \pi )}}}$

${\displaystyle w!=\Pi (w)=\Gamma (w+1)=\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\bigr )}^{w}{\bigl (}1+{\frac {w}{n}}{\bigr )}^{-1}}$

Mit dem Buchstaben des kleinen ${\displaystyle \pi }$ ist hier in der Tat die Kreiszahl gemeint.

Jedoch steht das große ${\displaystyle \Pi }$ in der genannten Formel für die Gaußsche Pifunktion also für die kontinuisierte Form der Fakultätsfunktion.

${\displaystyle \sin \alpha =-\cos \left(\alpha +90^{\circ }\right)=\cos \left(\alpha -90^{\circ }\right)}$ (Gradmaß)

${\displaystyle \sin \alpha =-\cos \left(\alpha +\pi /2\right)=\cos \left(\alpha -\pi /2\right)}$ (Bogenmaß)

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$ („trigonometrischer Pythagoras“)

Insbesondere folgt daraus ${\displaystyle |{\sin \alpha }|\leq 1}$ und ${\displaystyle |{\cos \alpha }|\leq 1}$. Diese Ungleichungen gelten aber nur für reelle Argumente ${\displaystyle \alpha }$; für komplexe Argumente können Sinus und Kosinus beliebige Werte annehmen.

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Sinusfunktion folgendermaßen:

Quadrant	Gradmaß	Bogenmaß	Bildmenge	Monotonie	Konvexität	Punkttyp
	${\displaystyle 0^{\circ }}$	0	0			Nullstelle, Wendepunkt
1. Quadrant	${\displaystyle 0^{\circ }<x<90^{\circ }}$	${\displaystyle 0<x<\pi /2}$	positiv: ${\displaystyle 0<\sin x<1}$	steigend	konkav
	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle \pi /2}$	1			Maximum
2. Quadrant	${\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi /2<x<\pi }$	positiv: ${\displaystyle 0<\sin x<1}$	fallend	konkav
	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi }$	0			Nullstelle, Wendepunkt
3. Quadrant	${\displaystyle 180^{\circ }<x<270^{\circ }}$	${\displaystyle \pi <x<3\pi /2}$	negativ: ${\displaystyle -1<\sin x<0}$	fallend	konvex
	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle 3\pi /2}$	${\displaystyle -1}$			Minimum
4. Quadrant	${\displaystyle 270^{\circ }<x<360^{\circ }}$	${\displaystyle 3\pi /2<x<2\pi }$	negativ: ${\displaystyle -1<\sin x<0}$	steigend	konvex

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches ergibt sich der Wert des Sinus daraus, dass der Sinus periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad) ist, d. h. ${\displaystyle \sin(\alpha +360^{\circ })=\sin \alpha }$. Außerdem gilt ${\displaystyle \sin(\alpha +180^{\circ })=-\sin \alpha }$, ${\displaystyle \sin(90^{\circ }+\alpha )=\sin(90^{\circ }-\alpha )}$ , ${\displaystyle \sin(180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha }$ etc.

Der Kosinus stellt einen um 90° (bzw. π/2 rad) phasenverschobenen Sinus dar und es gilt ${\displaystyle \cos \alpha =\sin(\alpha +90^{\circ })}$.

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Kosinusfunktion daher folgendermaßen:

Quadrant	Gradmaß	Bogenmaß	Bildmenge	Monotonie	Konvexität	Punkttyp
	${\displaystyle 0^{\circ }}$	0	1			Maximum
1. Quadrant	${\displaystyle 0^{\circ }<x<90^{\circ }}$	${\displaystyle 0<x<\pi /2}$	positiv: ${\displaystyle 0<\cos x<1}$	fallend	konkav
	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle \pi /2}$	0			Nullstelle, Wendepunkt
2. Quadrant	${\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi /2<x<\pi }$	negativ: ${\displaystyle -1<\cos x<0}$	fallend	konvex
	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle -1}$			Minimum
3. Quadrant	${\displaystyle 180^{\circ }<x<270^{\circ }}$	${\displaystyle \pi <x<3\pi /2}$	negativ: ${\displaystyle -1<\cos x<0}$	steigend	konvex
	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle 3\pi /2}$	${\displaystyle 0}$			Nullstelle, Wendepunkt
4. Quadrant	${\displaystyle 270^{\circ }<x<360^{\circ }}$	${\displaystyle 3\pi /2<x<2\pi }$	positiv: ${\displaystyle 0<\cos x<1}$	steigend	konkav

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches lässt sich der Wert des Kosinus – so wie der des Sinus – periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad) bestimmen, d. h. ${\displaystyle \cos(\alpha +360^{\circ })=\cos \alpha }$. Außerdem gilt ${\displaystyle \cos(\alpha +180^{\circ })=-\cos \alpha }$.

Der Sinus ist auch für komplexe Eingabewerte definiert. Da sowohl Ein- als auch Ausgabe eine Zahl auf einer Ebene und nicht nur einem Strahl sind, schlagen die Versuche eines klassischen Schaubildes fehl, bei dem Ein- und Ausgabe jeweils 1-dimensional war (${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$-Achse). Es kann aber mit Farben nachgeholfen werden: Ein beliebiger Punkt auf diesem Bild ist (ortstechnisch!) die Eingabe. Die angenommene Farbe symbolisiert über einen Farbschlüssel den Wert, den die Funktion annimmt. Die 0 ist schwarz, die Nullstellen ${\displaystyle 0,\pi }$ usw. des Sinus lassen sich ablesen.

Graph der komplexen Kosinusfunktion

Farbfunktion, die für die beiden obigen Bilder verwendet wurde

Für komplexe Argumente kann man Sinus und Kosinus entweder über die Reihenentwicklung oder über die Formeln

${\displaystyle \sin z={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}\right)}$

${\displaystyle \cos z={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}\right)}$

definieren.

Für komplexe Argumente ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} \cdot {y}}$ gilt

${\displaystyle \sin z=\sin \left(x+\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\sin x\,\cosh y+\mathrm {i} \cos x\,\sinh y}$

und

${\displaystyle \cos z=\cos \left(x+\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\cos x\,\cosh y-\mathrm {i} \sin x\,\sinh y}$,

was aus den Additionstheoremen und den Zusammenhängen ${\displaystyle \sin \left(\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\mathrm {i} \cdot {\sinh y}}$ sowie ${\displaystyle \cos \left(\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\cosh y}$ hergeleitet werden kann, wobei ${\displaystyle \sinh }$ und ${\displaystyle \cosh }$ die Hyperbelfunktionen Sinus und Cosinus hyperbolicus bezeichnen.

Sinus und Kosinus sind für reelle Argumente auf Werte aus dem Intervall ${\displaystyle [-1,1]}$ beschränkt; im Definitionsbereich der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sind sie dagegen unbeschränkt, was aus dem Satz von Liouville folgt. Sinus und Kosinus können für komplexe Argumente sogar beliebige reelle oder komplexe Werte annehmen.

Zum Beispiel gilt:

${\displaystyle \cos \mathrm {i} =\cosh 1={\frac {\mathrm {e} ^{1}+\mathrm {e} ^{-1}}{2}}\approx 1{,}54}$

Für reelle ${\displaystyle x}$ nimmt ${\displaystyle \cos x}$ diesen Wert aber nie an.

In den Bildern auf der rechten Seite gibt die Farbe den Winkel des Arguments an, die Farbintensität den Betrag, wobei volle Intensität für kleine Werte steht und bei großen Beträgen ein Übergang zu weiß stattfindet. Die genaue Zuordnung ergibt sich aus nebenstehendem Bild, das jeder komplexen Zahl eine Farbe und eine Intensität zuordnet. An den Bildern zu Sinus und Kosinus ist erkennbar, dass auch im Komplexen Periodizität in ${\displaystyle x}$-Richtung vorliegt (nicht aber in ${\displaystyle y}$-Richtung) und dass Sinus und Kosinus durch eine Verschiebung um ${\displaystyle \pi /2}$ auseinander hervorgehen.

Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen mit der Periode ${\displaystyle 2\pi }$ (entspricht im Gradmaß ${\displaystyle 360^{\circ }}$) sind, reicht es, die Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen für den Bereich ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ (entspricht dem Bereich ${\displaystyle 0^{\circ }}$ bis ${\displaystyle 360^{\circ }}$) zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang

${\displaystyle \sin x=\sin(x+2k\pi )\quad {\text{und}}\quad \cos x=\cos(x+2k\pi )}$

bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog:

${\displaystyle \sin x=\sin(x+k\cdot 360^{\circ })\quad {\text{und}}\quad \cos x=\cos(x+k\cdot 360^{\circ })}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ eine ganze Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf.[5]

Winkel (Grad)	Bogenmaß	Sinus	Kosinus
${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {0}}=0}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {4}}=1}$
${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {1}}={\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$
${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {1}}={\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {4}}=1}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {0}}=0}$

Weitere wichtige Werte sind:

Winkel (Grad)	Bogenmaß	Sinus	Kosinus
${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}$
${\displaystyle 18^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$
${\displaystyle 22{,}5^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{8}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$
${\displaystyle 36^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$
${\displaystyle 54^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{10}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}$
${\displaystyle 67{,}5^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{8}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$
${\displaystyle 72^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{5}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}$
${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}$
${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 360^{\circ }}$	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$

In folgender Liste werden die Beweise für die einzelnen Werte skizziert dargestellt:

• ${\displaystyle \cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$, weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) dann gleichschenklig ist, und nach Pythagoras gilt ${\displaystyle x^{2}+x^{2}=1^{2}\Rightarrow x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$.
• ${\displaystyle \cos 60^{\circ }=\sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}}$, weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) gespiegelt an der ${\displaystyle x}$-Achse dann gleichseitig ist (mit Seitenlänge 1) und somit die Gegenkathete (Sinus) die halbe Seitenlänge beträgt.
• ${\displaystyle \cos 30^{\circ }=\sin 60^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$, weil für das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) wegen ${\displaystyle \sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}}$ für den Cosinus nach Pythagoras gilt ${\displaystyle x^{2}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=1^{2}\ \Rightarrow \ x^{2}={\tfrac {3}{4}}\ \Rightarrow \ x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$.
• ${\displaystyle \cos 72^{\circ }=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)}$, weil im Pentagramm das Inverse des Goldenen Schnitts auftritt, wobei der halbierte Winkel in den Spitzen gleich 18° ist.
• ${\displaystyle \cos 36^{\circ }=\sin 54^{\circ }={\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})}$, weil im regelmäßigen Fünfeck der Goldene Schnitt auftritt, wobei der halbierte Innenwinkel gleich 54° ist.
• ${\displaystyle \cos 75^{\circ }=\sin 15^{\circ }}$ und ${\displaystyle \cos 15^{\circ }=\sin 75^{\circ }}$ lassen sich mit Hilfe der Halbwinkelformeln für Sinus und Kosinus herleiten.

Die Fünftel der Werte können unter anderem so ermittelt werden:

Der Mathematiker Carl Friedrich Gauß entdeckte die Tatsache, dass die Sinus- und Cosinuswerte von den Siebzehnteln des Vollwinkels auf rein quadratisch radikale Weise dargestellt werden kann. Damit bewies er, dass das reguläre Siebzehneck mit Zirkel und Lineal alleine konstruiert werden kann. Besonders effizient können die Cosinuswerte des Musters ${\displaystyle 2\pi z\div 17}$ mittels Lösen quadratischer Gleichungen ermittelt werden.

Tabellarisch lassen sich so nach Wickner insgesamt folgende Identitäten zusammenfassen:

Summe	Produkt	Radikalische Identität	Tangentielle Identität
${\displaystyle 2\cos \left({\frac {6\pi }{17}}\right)+2\cos \left({\frac {10\pi }{17}}\right)=}$	${\displaystyle 4\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)\cos \left({\frac {8\pi }{17}}\right)=}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}\right)=}$	${\displaystyle \tan \left[{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]}$
${\displaystyle 2\cos \left({\frac {12\pi }{17}}\right)+2\cos \left({\frac {14\pi }{17}}\right)=}$	${\displaystyle 4\cos \left({\frac {4\pi }{17}}\right)\cos \left({\frac {16\pi }{17}}\right)=}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}\right)=}$	${\displaystyle -\cot \left[{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]}$
${\displaystyle 2\cos \left({\frac {4\pi }{17}}\right)+2\cos \left({\frac {16\pi }{17}}\right)=}$	${\displaystyle 4\cos \left({\frac {6\pi }{17}}\right)\cos \left({\frac {10\pi }{17}}\right)=}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}\right)=}$	${\displaystyle -\tan \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]}$
${\displaystyle 2\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)+2\cos \left({\frac {8\pi }{17}}\right)=}$	${\displaystyle 4\cos \left({\frac {12\pi }{17}}\right)\cos \left({\frac {14\pi }{17}}\right)=}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}\right)=}$	${\displaystyle \cot \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]}$

Beispielsweise[6] ergeben sich folgende Formeln:

${\displaystyle {\color {magenta}\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)}={\frac {1}{4}}\cot \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]+{\frac {1}{4}}{\sqrt {\cot \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]^{2}-4\tan \left[{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]}}}$

${\displaystyle {\color {magenta}\cos \left({\frac {8\pi }{17}}\right)}=\sin \left({\frac {\pi }{34}}\right)={\frac {1}{4}}\cot \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]-{\frac {1}{4}}{\sqrt {\cot \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]^{2}-4\tan \left[{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]}}}$

Diese Formeln gehen aus dem Werk Solution to Problem 1562: A Tangent and Cosine Identity des Mathematikers John Wickner hervor und erklären die Konstruktion des Siebzehnecks über die Winkelvierteilungen.

Die trigonometrischen Werte der Siebtel und der Dreizehntel können vereinfacht mittels Winkeldreiteilung dargestellt werden. Daraus folgt, dass das reguläre Siebeneck und das reguläre Dreizehneck mit der Kombination der Werkzeuge Zirkel, Lineal und Winkeldreiteiler dargestellt werden können:

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{7}}\right)={\frac {\sqrt {3}}{4}}\sec \left[{\frac {1}{3}}\arctan \left({\frac {\sqrt {3}}{9}}\right)\right]}$

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{13}}\right)={\frac {1}{12}}{\sqrt {26+6{\sqrt {13}}}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {26-6{\sqrt {13}}}}\,\cos {\biggl [}{\frac {1}{3}}\arctan {\biggl (}{\frac {3{\sqrt {3}}}{5}}{\biggr )}{\biggr ]}}$