Simulated Annealing

Der Algorithmus des Simulated Annealing ist durch physikalische Überlegungen motiviert.[4] Gesucht sei ein energetisch günstigster Zustand eines Systems, welches mithilfe der Boltzmann-Statistik beschrieben werden kann. Gemäß der Boltzmann-Statistik ist die Wahrscheinlichkeit, einen Mikrozustand mit Energie ${\displaystyle \geq E_{j}}$ anzutreffen, gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung

${\displaystyle p(E_{j})\propto \exp \left(-{\frac {E_{j}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right),}$

wobei ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ die Boltzmann-Konstante und ${\displaystyle T}$ die Temperatur ist. Die Energie des energetisch günstigsten Zustandes sei ${\displaystyle E_{0}}$. Die obige Proportionalität bleibt bestehen bei Multiplikation mit einem von ${\displaystyle E_{j}}$ unabhängigen Faktor:

${\displaystyle p(E_{j})\propto \exp \left(-{\frac {(E_{j}-E_{0})}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}$

Da ${\displaystyle E_{0}}$ der energetisch günstigste Zustand ist, gilt ${\displaystyle E_{j}-E_{0}\geq 0}$. Weiterhin ist ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }>0}$ und ${\displaystyle T>0}$. Somit ist der Exponent negativ, und mit abnehmender Temperatur wird sein Betrag größer, wodurch die Wahrscheinlichkeit sinkt, einen angeregten Energiezustand mit mindestens ${\displaystyle E_{j}}$ zu finden. Senkt man somit die Temperatur des Systems langsam ab, so wird der energetisch günstigste Zustand mit immer größerer Wahrscheinlichkeit angetroffen.

Gegeben sei der Lösungsraum ${\displaystyle D}$, eine Fitnessfunktion ${\displaystyle f\colon D\rightarrow \mathbb {R} }$, die jeder Lösung in ${\displaystyle D}$ einen Wert zuweist, und ein Abbruchkriterium.

Gesucht ist eine approximative Lösung des globalen Minimums von ${\displaystyle f}$ über ${\displaystyle D}$, also ein ${\displaystyle x\in D}$ mit möglichst kleinem Wert ${\displaystyle f(x)}$ (oder auch möglichst großem, was man durch Negieren von ${\displaystyle f}$ einfach auf den vorigen Fall zurückführen kann).

Außerdem wird ein Umgebungsbegriff ${\displaystyle U\colon D\rightarrow {\mathcal {P}}(D)}$ (siehe Potenzmenge) benötigt, um zu gegebenem ${\displaystyle x\in D}$ eine benachbarte Lösung ${\displaystyle y\in U(x)}$ zu erzeugen.

1. Initialisierung:
   • wähle eine Startlösung ${\displaystyle x\in D}$
   • setze ${\displaystyle x_{\mathrm {approx} }=x}$
   • wähle eine monoton gegen Null fallende Folge von positiven Temperaturwerten ${\displaystyle (T_{t})_{t\in \mathbb {N} }}$
   • Setze ${\displaystyle t=0}$
2. lokale Veränderung:
   • wähle zu ${\displaystyle x}$ einen Nachbarn ${\displaystyle y\in U(x)}$ zufällig aus
3. Selektion:
   • wenn ${\displaystyle f(y)\leq f(x)}$, setze ${\displaystyle x=y}$
   • anderenfalls setze ${\displaystyle x=y}$ nur mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \exp \left(-{\frac {f\left(y\right)-f\left(x\right)}{T_{t}}}\right)}$.
4. Bisher beste Lösung aktualisieren:
   • wenn ${\displaystyle f(x)<f(x_{\text{approx}})}$, setze ${\displaystyle x_{\text{approx}}=x}$
5. Inkrementiere:
   • setze ${\displaystyle t=t+1}$
6. Abbruch oder weiter:
   • wenn die Abbruchbedingung nicht erfüllt ist, gehe zu Schritt 2.

Graphische Verdeutlichung

Graphische Darstellung einer Landschaft, in der ein globales Minimum gefunden werden soll.

Die Idee des simulierten Abkühlens kann man sich graphisch verdeutlichen.[5]

Angenommen, man sucht in einer zweidimensionalen Landschaft den (global) tiefsten Punkt. Die Landschaft selbst besteht aus vielen unterschiedlich tiefen Dellen. Die einfache Suchstrategie (suche den nächsten tiefsten Punkt) entspricht dem Verhalten einer Kugel, welche in dieser Landschaft ausgesetzt wird. Sie rollt zum nächsten lokalen Minimum und bleibt dort. Bei der simulierten Abkühlung wird der Kugel immer wieder ein Stoß versetzt, der mit zunehmender „Abkühlung“ schwächer wird. Dieser ist idealerweise stark genug, um die Kugel aus einer flachen Delle (lokales Minimum) zu entfernen, reicht aber nicht aus, um aus dem globalen Minimum zu fliehen.

Simulated Annealing bei der Suche nach einem Maximum. Die zahlreichen lokalen Maxima werden durch die bei noch hoher „Temperatur“ starke Rausch-Bewegung der Temperatursimulation schnell wieder verlassen. Das globale Maximum wird aber zuverlässig gefunden, da der fallende „Temperatur“-Wert zum Ende nicht mehr ausreicht, es zu verlassen. Das erbringt bessere Resultate als ein einfacher Bergsteigeralgorithmus.

• Schwellenakzeptanz (threshold accepting)
• Deterministic Annealing
• Stochastisches Tunneln
• Sintflutalgorithmus
• Metropolisalgorithmus

• Ingo Wegener: Simulated Annealing Beats Metropolis in Combinatorial Optimization. In: Lecture Notes in Computer Science. Band 3580. Springer, Berlin/Heidelberg 2005, ISBN 978-3-540-27580-0, S. 589–601, doi:10.1007/11523468 (Für ein einfach zu beschreibendes Problem wird gezeigt, dass unabhängig von der Temperatur die simulierte Abkühlung effizienter ist als der Metropolisalgorithmus.).

• Interaktives JavaScript zur Demonstration (Memento vom 13. März 2015 im Internet Archive)
• Interaktive Demonstration zum Ausprobieren
• C#-Implementierung und Anwendung zur Minimierung und auf das Problem des Handelsreisenden
• Simulated Annealing in C++ Optimierungs-Bibliothek cppOpt cppOpt bzw. OptSimulatedAnnealing.h

1. Bogatzki, A.: Fabrikplanung: Verfahren zur Optimierung von Maschinenaufstellung. Diss. Universität Wuppertal (1998). Roderer 1998. ISBN 978-3-89073-234-3
2. T. Kadowaki, H. Nishimori, Quantum annealing in the transverse Ising model, Phys. Rev. E, Band 58, 1998, S. 5355
3. A. B. Finilla, M. A. Gomez, C. Sebenik, J. D. Doll, Quantum annealing: A new method for minimizing multidimensional functions, Chem. Phys. Lett., Band 219, 1994, S. 343
4. JP Dr. A. Arnold, Universität Stuttgart, Institut für Computerphysik, Skript zur Vorlesung Physik auf dem Computer (PDF; 3,3 MB) S. 181 ff.
5. Google TechTalk Vortrag Eine kurze, aber sehr verständliche Erklärung zum Thema findet man ab Minute 35.