Silberner Schnitt

Silberner Schnitt in einem halben regelmäßigen Achteck nach dem Satz von Pythagoras:
${\displaystyle {\overline {AB}}\;{\widehat {=}}\;{\sqrt {2}}=a+b}$
${\displaystyle {\overline {IJ}}\;{\widehat {=}}\;1+{\sqrt {2}}-1+1=1+{\sqrt {2}}=\delta _{S}}$

Ausgehend vom regelmäßigen Achteck mit einer Seitenlänge ${\displaystyle b_{0}=1}$ soll die folgende Beschreibung zur nebenstehenden Konstruktion die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Silbernen Schnittes verdeutlichen.[3]

• Die geometrische Herleitung des Zahlenwertes ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ von ${\displaystyle \delta _{S}}$ mit Zirkel und Lineal entsteht im Verlauf der Konstruktion. Sie erweist sich als praktikable Alternative zur rechnerischen Herleitung.

Zuerst wird nach dem Errichten einer Senkrechten auf eine Gerade, jeweils ab dem Punkt ${\displaystyle A}$, um dem Punkt ${\displaystyle A}$ ein Viertelkreis mit dem Radius ${\displaystyle r=1}$ gezeichnet, damit ergeben sich die Punkte ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle D}$. Halbiert man nun den rechten Winkel ${\displaystyle CAD}$, ergeben sich der Winkel ${\displaystyle 45^{\circ }}$, der Schnittpunkt ${\displaystyle E}$ und somit als Strecke ${\displaystyle {\overline {AE}},}$ die erste Seite des halben Achtecks. Es folgt ein Kreisbogen mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ um den Punkt ${\displaystyle E}$ und eine Parallele zur Strecke ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ab ${\displaystyle E}$; beide schneiden sich in ${\displaystyle F}$ und bilden somit als Strecke ${\displaystyle {\overline {EF}}}$ die zweite Seite des halben Achtecks. Um den Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ des halben Achtecks zu erhalten, konstruiert man die zwei Mittelsenkrechten ${\displaystyle Ms_{1}}$ und ${\displaystyle Ms_{2}}$ der beiden Achteckseiten. Anschließend werden durch den Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ die Mittelachse parallel zur Strecke ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ und um ${\displaystyle M}$ der Halbkreis mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ gezeichnet. Es ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle H}$ und somit als Strecke ${\displaystyle {\overline {FH}}}$ die dritte Seite des halben Achtecks. Die Verbindungen der Punkte ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ ergeben den Schnittpunkt ${\displaystyle B}$ sowie den Zentriwinkel ${\displaystyle 45^{\circ }}$ der Achteckseite. Um das halbe Achteck fertigzustellen, bedarf es noch zweier Senkrechten zur Strecke ${\displaystyle {\overline {AH}}}$, jeweils ab den Punkten ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle H}$ bis auf die Mittelachse. Dabei ergeben sich schließlich die beiden Schnittpunkte ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle J}$.

Die Seite ${\displaystyle {\overline {EM}}}$ des Dreiecks ${\displaystyle MFE}$ schneidet die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, deren Länge ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ entspricht, im Punkt ${\displaystyle C}$ und teilt sie dort im Verhältnis des Silbernen Schnittes.

Das Ergebnis zeigt, dass jede der beiden Strecken ${\displaystyle {\overline {AH}}}$ und ${\displaystyle {\overline {IJ}}}$ die Länge ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}-1+1=1+{\sqrt {2}}}$ hat.

Setzt man in die allgemeinen Formel für ${\displaystyle \delta _{S}={\frac {a}{b}}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}}$ ergibt sich

${\displaystyle {\overline {IJ}}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}={\frac {1+{\sqrt {2}}}{1}}=1+{\sqrt {2}},}$ daraus folgt

${\displaystyle {\overline {IJ}}=\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}414\,213\,562.}$

• In Worten, die Länge der Strecke ${\displaystyle {\overline {IJ}}}$ entspricht dem Zahlenwert ${\displaystyle \approx 2{,}414\,213\,562.}$

Silberner Schnitt, innere Teilung
${\displaystyle {\frac {a}{b}}=1+{\sqrt {2}}=\delta _{S}}$

Für die innere Teilung der Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ im Verhältnis des Silbernen Schnittes sind aus der Zeichnung des halben regelmäßigen Achtecks prinzipiell folgende Konstruktionselemente ableitbar:

• Grünes Dreieck ${\displaystyle ACE}$
• Mittelpunkt ${\displaystyle G}$ der Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$
• Kreisbogen ${\displaystyle CED}$ um ${\displaystyle A}$, erzeugt Teilungspunkt ${\displaystyle C}$

Zu Beginn wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ halbiert, es ergibt sich der Mittelpunkt ${\displaystyle G}$. Anschließend zieht man den Halbkreis mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {GA}}}$ um den Punkt ${\displaystyle G}$. Es folgt eine Senkrechte auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ durch den Punkt ${\displaystyle G}$, dabei ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle E}$ mit dem Halbkreis. Der abschließende Kreisbogen um den Punkt ${\displaystyle A}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ teilt in ${\displaystyle C}$ die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ im Verhältnis des Silbernen Schnittes mit ${\displaystyle a}$ als größerem und ${\displaystyle b}$ als kleinerem Teil.

Silberner Schnitt, äußere Teilung
${\displaystyle {\frac {a}{b}}=1+{\sqrt {2}}=\delta _{S}}$

Ähnlich wie der Goldene Schnitt ist auch der Silberne Schnitt mit einer äußeren Teilung, durch eine Verlängerung der vorgegebenen Strecke, konstruierbar.

Für die äußere Teilung der Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ im Verhältnis des Silbernen Schnittes sind aus der Zeichnung des halben regelmäßigen Achtecks prinzipiell folgende Konstruktionselemente ableitbar:

• Grünes Dreieck ${\displaystyle ACE}$
• Kreisbogen ${\displaystyle CED}$ um ${\displaystyle A}$
• Kreisbogen ${\displaystyle ABF}$ um ${\displaystyle E}$, erzeugt die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$

Es beginnt mit der Konstruktion eines rechten Winkels (einer Senkrechten) auf der vorgegebenen Strecke ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ im Punkt ${\displaystyle A}$. Anschließend wird um den Punkt ${\displaystyle A}$, ab dem Punkt ${\displaystyle C}$, ein Viertelkreis bis zur Senkrechten gezeichnet, es ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle D}$. Nun folgt die Halbierung des rechten Winkels ${\displaystyle CAD}$, dabei ergeben sich der Winkel ${\displaystyle 45^{\circ }}$ und der Schnittpunkt ${\displaystyle E}$. Weiter geht es mit der Verlängerung der Strecke ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ab dem Punkt ${\displaystyle C}$ um etwa die Hälfte der Strecke ${\displaystyle {\overline {AC}}}$. Der abschließende Kreisbogen um den Punkt ${\displaystyle E}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ verlängert die vorgegebene Strecke ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ in ${\displaystyle B}$ um die Länge der Strecke ${\displaystyle {\overline {CB}}}$. Somit ist die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ geteilt im Verhältnis des Silbernen Schnittes mit ${\displaystyle a}$ als größerem und ${\displaystyle b}$ als kleinerem Teil.