Signiertes Maß

Sind ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$ endliche Maße auf dem Messraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$, so sind

${\displaystyle \nu _{1}=\mu _{1}-\mu _{2}{\text{ und }}\nu _{2}=\mu _{2}-\mu _{1}}$

signierte Maße auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$. Bei einem der beiden Maße ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$ kann auf die Endlichkeit verzichtet werden, wenn man zulassen will, dass die signierten Maße die Werte ${\displaystyle +\infty }$ oder ${\displaystyle -\infty }$ annehmen können.

Signierte Maße treten auch in der Integrationstheorie auf, sie werden von einem unbestimmten Integral induziert.

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum und ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow {\bar {\mathbb {R} }}}$ eine ${\displaystyle {\mathcal {A}}-{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }})}$ messbare Funktion. Ist ${\displaystyle f}$ positiv (nimmt Werte in ${\displaystyle [0,\infty ]}$ an) oder quasiintegrierbar, so existiert das Integral ${\displaystyle \textstyle \int _{\Omega }f\chi _{A}d\mu }$ mit ${\displaystyle \chi }$ als Indikatorfunktion und ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ immer. Die Abbildung ${\displaystyle \textstyle \int fd\mu \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\bar {\mathbb {R} }}}$ mit

${\displaystyle (\int fd\mu )(A):=\int _{\Omega }f\chi _{A}d\mu }$

definiert das unbestimmte ${\displaystyle \mu }$-Integral.

• Ist ${\displaystyle f}$ positiv, so ist ${\displaystyle \textstyle \int fd\mu }$ ein Maß.
• Ist ${\displaystyle f}$ integrierbar, so ist ${\displaystyle \textstyle \int fd\mu }$ ein endliches signiertes Maß, das heißt ${\displaystyle \textstyle (\int fd\mu )(A)\in \mathbb {R} }$ für ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$.
• Ist ${\displaystyle f}$ quasiintegrierbar, so ist ${\displaystyle \textstyle \int fd\mu }$ ein signiertes Maß.

Man verwendet für ${\displaystyle \textstyle (\int fd\mu )(A)}$ üblicherweise die Kurzschreibweise ${\displaystyle \textstyle \int _{A}fd\mu }$.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ein Ring so ist ${\displaystyle \nu }$ stetig von oben, es gilt folglich, dass für jede monoton fallende Folge ${\displaystyle (A_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle |\nu (A_{1})|<\infty }$ und ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }\nu (A_{i})=\nu \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)}$

gilt. Ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine σ-Algebra, so ist die Eigenschaft immer erfüllt.

Ein signiertes Maß auf einer σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ist stetig von unten, das heißt für eine monoton wachsende Mengenfolge ${\displaystyle (A_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ gilt

${\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }\nu (A_{i})=\nu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)}$.

Eine Menge ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ wird eine positive Menge genannt, wenn für jede weitere Menge ${\displaystyle B\subset A}$ mit ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$ gilt, dass

${\displaystyle \nu (B)\geq 0}$.

Ebenso wird eine Menge ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ eine negative Menge genannt, wenn für jede weitere Menge ${\displaystyle B\subset A}$ mit ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$ gilt, dass

${\displaystyle \nu (B)\leq 0}$.

Der Begriff der Nullmenge überträgt sich direkt von Maßen auf signierte Maße.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine σ-Algebra über der Grundmenge ${\displaystyle \Omega }$ und ${\displaystyle \nu }$ ein signiertes Maß, so nennt man das Tripel ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\nu )}$ einen signierten Maßraum.

Ein signiertes Maß ${\displaystyle \nu }$ heißt endlich, wenn ${\displaystyle |\nu (A)|<\infty }$ für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$. Dies ist äquivalent zu ${\displaystyle |\nu (\Omega )|<\infty }$ oder zur Endlichkeit der Variation von ${\displaystyle \nu }$.

Ein signiertes Maß heißt σ-endlich, wenn es eine Folge ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von Mengen aus ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ gibt, so dass

${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

und ${\displaystyle |\nu (A_{n})|<\infty }$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Dies ist äquivalent dazu, dass die Variation von ${\displaystyle \nu }$ ein σ-endliches Maß ist.

Ein endliches signiertes Maß auf einem Hausdorff-Raum, versehen mit der borelschen σ-Algebra heißt regulär, wenn die Variation des signierten Maßes ein reguläres Maß ist.

Die Hahn-Jordan-Zerlegung liefert eine Aufteilung eines signierten Maßes. Dabei wird entweder die Grundmenge auf eindeutige Weise in eine positive Menge und eine negative Menge zerlegt (Hahnscher Zerlegungssatz), oder das signierte Maß in zwei (gewöhnliche) Maße aufgeteilt, von denen mindestens eines endlich ist und die zusammen das signierte Maß ergeben (Jordanscher Zerlegungssatz).

Zu jedem signierten Maß ${\displaystyle \mu }$ existieren also eine positive Menge ${\displaystyle P}$ und eine negative Menge ${\displaystyle N}$, so dass ${\displaystyle N\cup P=\Omega }$ und ${\displaystyle N\cap P=\emptyset }$ ist.

Ebenso existieren Maße ${\displaystyle \mu ^{+},\mu ^{-}}$, (die sogenannte positive Variation und die negative Variation), von denen mindestens eines endlich ist, die singulär zueinander sind und für die ${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$ gilt.

Es gilt dann

${\displaystyle \mu ^{+}(A)=\mu (P\cap A),\quad ,\mu ^{-}(A)=\mu (N\cap A)}$.

Das Maß ${\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$ nennt man dann die Variation von ${\displaystyle \mu }$, die Zahl ${\displaystyle |\mu |(\Omega )}$ die Totalvariationsnorm des signierten Maßes.

Ist ${\displaystyle \mu }$ ein σ-endliches Maß auf dem Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ und ist ${\displaystyle \nu }$ ein signiertes Maß, das absolut stetig bezüglich ${\displaystyle \mu }$ ist (${\displaystyle \nu \ll \mu }$), so besitzt ${\displaystyle \nu }$ eine Dichtefunktion bezüglich ${\displaystyle \mu }$, das heißt, es existiert eine messbare Funktion ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$, so dass

${\displaystyle \nu (E)=\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$ für alle ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$.

Ist ${\displaystyle \mu }$ ein σ-endliches Maß auf dem Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ und ist ${\displaystyle \nu }$ ein σ-endliches signiertes Maß, so existiert genau eine Zerlegung ${\displaystyle \nu =\tau +\pi }$, wobei ${\displaystyle \tau ,\pi }$ signierte Maße sind, so dass ${\displaystyle \tau }$ absolut stetig bezüglich ${\displaystyle \mu }$ ist und ${\displaystyle \pi }$ singulär bezüglich ${\displaystyle \mu }$ ist.

Der Satz von Vitali-Hahn-Saks besagt, dass der mengenweise Grenzwert einer Folge von signierten Maßen wieder ein signiertes Maß definiert.