σ-kompakter Raum

Ein topologischer Raum heißt σ-kompakt oder abzählbar im Unendlichen, wenn er sich als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume schreiben lässt. σ-Kompaktheit ist also eine Abschwächung des topologischen Begriffs der Kompaktheit. Der Buchstabe σ in der Bezeichnung rührt daher, dass die Vereinigung von Mengen früher auch als Summe bezeichnet wurde, die Bezeichnung wurde analog zu „σ-finit“ gebildet. Ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist abzählbar im Unendlichen genau dann, wenn der bei der Alexandroff-Kompaktifizierung hinzugekommene unendlich ferne Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.[1]

Der Begriff ist wichtig für die abstrakte Integrationstheorie, zusammen mit Lokalkompaktheit und dem Trennungsaxiom T₃ garantiert er die Existenz einer kompakten Ausschöpfung.[2]

Beispielsweise ist ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ausgestattet mit der Standardtopologie, ein σ-kompakter topologischer Raum, denn es gilt ${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{n=1}^{\infty }[-n,n]}$, so dass sich ${\displaystyle \mathbb {R} }$ als abzählbare Vereinigung der kompakten topologischen Räume ${\displaystyle [-n,n]}$ darstellen lässt.