Shuntimpedanz

Hierbei wird die Resonanzfrequenz des Resonators in Abhängigkeit von der Position des Störkörpers betrachtet. Unter der Annahme eines sehr kleinen Störkörpers, der das Feld nicht verformt, ergibt sich der Betrag des elektrischen Feldes ${\displaystyle E}$ an der Position ${\displaystyle z}$ des Störkörpers aus

${\displaystyle E(z)={\sqrt {{\frac {2W}{\alpha _{\text{S}}}}{\frac {\nu (z)}{\nu _{0}}}}}}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle W}$ die Im Resonatorfeld gespeicherte Energie, ${\displaystyle \nu (z)}$ die aktuelle Resonanzfrequenz des Resonators, ${\displaystyle \nu _{0}}$ die ungestörte Resonanzfrequenz und ${\displaystyle \alpha _{\text{S}}}$ die Störkörperkonstante. Diese ergibt sich aus

${\displaystyle \alpha _{\text{S}}={\frac {1}{2}}\,V\varepsilon _{0}(\varepsilon -1)}$

Dabei ist ${\displaystyle V}$ das Volumen des Störkörpers, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ die elektrische Feldkonstante und ${\displaystyle \varepsilon }$ die elektrische Permittivität des Störkörpers.

Integriert man das elektrische Feld entlang der vermessene Achse, so erhält man die Spannung ${\displaystyle U}$, die ein geladenes Teilchen auf dieser Achse durchläuft.

${\displaystyle U=\int _{0}^{l}E(z)\,\mathrm {d} z}$

Aus dem Zusammenhang zwischen Leistung, Spannung und Widerstand ergibt sich so für die Shuntimpedanz

${\displaystyle R_{\text{S}}={\frac {U^{2}}{P_{\text{V}}}}}$

Dabei ist ${\displaystyle P_{\text{V}}}$ die Verlustleistung, die durch ohmsche Effekte in den Wänden des Resonators verlorengeht.

Im Gegensatz zur resonanten Methode wird bei der nicht-resonanten Methode nicht die Resonanzfrequenz, sondern der Reflexionsfaktor bei einer festen Frequenz verfolgt. Der Reflexionsfaktor ${\displaystyle \rho }$ gibt das Verhältnis der Amplitude aus der in den Resonator ein- und der aus dem Resonator auslaufenden Welle sowie deren Phasenbeziehung an.

${\displaystyle \rho ={\frac {{\underline {U}}_{\text{aus}}}{{\underline {U}}_{\text{ein}}}}}$

Dieser ist im Allgemeinen komplex. Aus der Abweichung des komplexen Reflexionsfaktors beim Durchgang des Störkörpers zum ungestörten Fall lässt sich nun ähnlich wie bei der resonanten Methode ein Wert für den Betrag des elektrischen Feldes bestimmen.

${\displaystyle E(z)={\sqrt {{\frac {(1+\kappa )^{2}}{2\kappa Q_{0}}}{\frac {W}{\alpha _{\text{S}}}}|\Delta \rho (z)|}}}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \kappa }$ den Koppelfaktor, der die Anpassung des Wellenwiderstandes des Resonators an das angeschlossene Kabel beschreibt. Dieser ergibt sich aus dem Reflexionsfaktor auf der Resonanzfrequenz.

${\displaystyle \kappa ={\begin{cases}{\dfrac {1+|\rho |}{1-|\rho |}}&{\text{bei }}\rho >0\\&\\{\dfrac {1-|\rho |}{1+|\rho |}}&{\text{bei }}\rho <0\end{cases}}}$

${\displaystyle Q_{0}}$ bezeichnet die unbelastete Kreisgüte. Die weitere Berechnung erfolgt analog zur resonanten Messung.