Shimura-Varietät

Ein Shimura-Datum ist ein Paar ${\displaystyle (G,X)}$ bestehend aus einer reduktiven Gruppe ${\displaystyle G}$ über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ und einer ${\displaystyle G(\mathbb {R} )}$-Konjugationsklasse ${\displaystyle X}$ von Homomorphismen ${\displaystyle h:\mathbb {S} \to G_{\mathbb {R} }}$, welche folgende Punkte erfüllen:

1) Für alle ${\displaystyle h\in X}$ ist die durch ${\displaystyle \operatorname {Ad} \circ h}$ definiert Hodge-Struktur auf der Lie-Algebra ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G_{\mathbb {R} })}$ vom Typ

${\displaystyle \{(-1,1),(0,0),(1,-1)\}.}$

2) Für alle ${\displaystyle h\in X}$ ist ${\displaystyle \operatorname {ad} (h(i))}$ eine Cartan-Involution von ${\displaystyle G_{\mathbb {R} }^{\operatorname {ad} }}$.

3) ${\displaystyle G^{\operatorname {ad} }}$ hat keinen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Faktor auf dem die Projektion von ${\displaystyle h}$ trivial ist.[5]

• ${\displaystyle G:=Gl_{2}(\mathbb {Q} )}$ und ${\displaystyle h:\mathbb {S} \to Gl_{2}(\mathbb {R} )}$ definiert durch

${\displaystyle h:a+bi\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}}$

und ${\displaystyle X}$ sei die Menge der ${\displaystyle Gl_{2}(\mathbb {R} )}$-Konjugierten von ${\displaystyle h}$

${\displaystyle X:=\{h_{g}:=ghg^{-1}\}_{g\in Gl_{2}(\mathbb {R} )}}$

Dann ist ${\displaystyle (G,X)}$ ein Shimura-Datum.[6]

Sei ${\displaystyle (G,X)}$ ein Shimura-Datum.

Für eine kompakte, offene Teilgruppe ${\displaystyle K\subset G(\mathbb {A} _{f})}$, definiere den Doppelnebenklassen-Raum (englisch double coset space)

${\displaystyle \operatorname {Sh} _{K}(G,X):=G(\mathbb {Q} )\setminus X\times G(\mathbb {A} _{f})/K,}$

mit der Operation

${\displaystyle q(x,a)k=(qx,qak),\quad q\in G(\mathbb {Q} ),\quad x\in X,\quad a\in G(\mathbb {A} _{f}),\quad k\in K.}$

Diese Operation bedeutet ${\displaystyle G(\mathbb {Q} )}$ operiert auf beiden Komponenten ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{f})}$ jeweils von links. ${\displaystyle K}$ operiert nur auf der zweiten Komponente ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{f})}$ und zwar von rechts.

${\displaystyle \operatorname {Sh} _{K}(G,X)}$ ist eine endliche disjunkte Vereinigung von arithmetischen lokal-symmetrischen Varietäten

${\displaystyle \operatorname {Sh} _{K}(G,X)=\bigsqcup _{g}\Gamma _{g}\setminus X^{+}}$

(siehe z. B.[7] für die Definition solcher algebraischer Varietäten ${\displaystyle \Gamma _{g}\setminus X^{+}}$).

Wenn wir ${\displaystyle K}$ (genügend klein) variieren, erhalten wir ein inverses System (auch projektives System genannt) von algebraischen Varietäten

${\displaystyle (\operatorname {Sh} _{K}(G,X))_{K}.}$

${\displaystyle G(\mathbb {A} _{f})}$ operiert auf diesem System durch

${\displaystyle K\mapsto g^{-1}Kg,\quad g\in G(\mathbb {A} _{f})}$

und

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {T}}(g):\operatorname {Sh} _{K}(G,X)&\to \operatorname {Sh} _{g^{-1}Kg}(G,X)\\(x,a)&\mapsto (x,ag).\end{aligned}}}$

Dieses inverse System ausgestattet mit der Operation von ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{f})}$ heißt Shimura-Varietät und wird mit ${\displaystyle \operatorname {Sh} (G,X)}$ notiert.[8]