Shephards Lemma

Man geht zunächst von einem Ausgabenminimierungsproblem aus, das durch

${\displaystyle \min _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}$ unter der Nebenbedingung ${\displaystyle u(x_{1},\ldots ,x_{n})={\overline {u}}}$

gegeben ist, wobei ${\displaystyle u(\cdot )}$ stetig, differenzierbar und strikt quasikonkav sei. Dabei werden die Gesamtausgaben für die ${\displaystyle n}$ Güter aus dem Warenkorb minimiert, wobei aber ein gewisses Nutzenniveau gewahrt werden soll. Die Lösung eines solchen Ausgabenminimierungsproblems ist bestimmungsgemäß eine Funktion ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$, die anzeigt, welche Menge von den jeweiligen Gütern nachgefragt werden sollte, um das gegebene Nutzenniveau möglichst kostengünstig zu erzielen. Es ist folglich ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ eine Funktion des Preisvektors ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ldots ,p_{n})}$ und des festgelegten Nutzenniveaus ${\displaystyle {\overline {u}}}$. Man bezeichnet das so gegebene ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ als Hick'sche Nachfrage und vereinbart ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})\equiv \mathbf {x} ^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})}$.

Die diesem ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ zugehörige so genannte Optimalwertfunktion ist gegeben durch die ursprünglich minimierte Funktion, in die man nun das erhaltene ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ einsetzt. Man bezeichnet sie als Ausgabenfunktion ${\displaystyle e}$:

${\displaystyle e=e(\mathbf {p} ,{\overline {u}})=\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})}$

Sie liefert die tatsächlichen Ausgaben, die im Ausgabenminimum für gegebenes Nutzenniveau zu tätigen sind.

Man geht zunächst von einem Kostenminimierungsproblem aus, das durch

${\displaystyle \min _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}$ unter der Nebenbedingung ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=y}$

gegeben ist, wobei ${\displaystyle f(\cdot )}$ stetig, differenzierbar und strikt quasikonkav sei. Dabei werden die Gesamtausgaben für die ${\displaystyle n}$ Produktionsfaktoren minimiert, wobei aber eine gewisse Outputmenge ${\displaystyle y}$ hervorgebracht werden soll (${\displaystyle f}$ ist die Produktionsfunktion). Die Lösung eines solchen Kostenminimierungsproblems ist bestimmungsgemäß eine Funktion ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$, die anzeigt, welche Menge von den jeweiligen Faktoren nachgefragt werden sollte, um das gegebene Produktionsziel möglichst kostengünstig zu erreichen. Es ist folglich ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ eine Funktion des Faktorpreisvektors ${\displaystyle \mathbf {w} =(w_{1},\ldots ,w_{n})}$ und des festgelegten Outputniveaus ${\displaystyle y}$. Man bezeichnet das so gegebene ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ als bedingte Faktornachfrage.

Die diesem ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ zugehörige so genannte Optimalwertfunktion ist gegeben durch die ursprünglich minimierte Funktion, in die man nun das erhaltene ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ einsetzt. Man bezeichnet sie als Kostenfunktion ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle c=c(\mathbf {w} ,y)=\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{*}(\mathbf {w} ,y)}$

Sie liefert die tatsächlichen Kosten, die im Kostenminimum für eine gegebene Outputmenge anfallen.