Seventeen or Bust

Das Problem lautet: „Welche ist die kleinste Sierpiński-Zahl?“ John L. Selfridge hat 1962 gezeigt, dass 78557 eine Sierpiński-Zahl ist.[3] Es ist jedoch noch nicht bekannt, ob 78557 die kleinste Sierpiński-Zahl ist. Es wird aber vermutet, dass es sich um die kleinste Sierpiński-Zahl handelt. Allerdings kommen noch 17 weitere Zahlen in Frage, die allesamt kleiner wären als 78557 und somit den Titel der kleinsten Sierpiński-Zahl für sich beanspruchen könnten. Es handelt sich um folgende 17 Zahlen:

4847, 5359, 10223, 19249, 21181, 22699, 24737, 27653, 28433, 33661, 44131, 46157, 54767, 55459, 65567, 67607, 69109

Das Projekt startete im März 2002. Es will beweisen, dass 78557 tatsächlich die kleinste Sierpiński-Zahl ist. Dafür muss es zeigen, dass es für alle anderen 17 oben genannten Zahlen ${\displaystyle k}$ zumindest ein ${\displaystyle n>0}$ existiert, sodass gilt: ${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$ ist eine Primzahl. Wird so ein ${\displaystyle n}$ gefunden, kann die dazugehörige Zahl ${\displaystyle k}$ keine Sierpiński-Zahl sein, denn bei einer Sierpiński-Zahl muss ${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$ für alle ${\displaystyle n\geq 1}$ eine zusammengesetzte Zahl sein.

Für jede der oben genannten 17 Werte für ${\displaystyle k}$ sucht das Projekt also nach Primzahlen der Form

${\displaystyle k\cdot 2^{1}+1,k\cdot 2^{2}+1,\dotsc ,k\cdot 2^{n}+1,\dotsc }$

Es verwendet dabei den Satz von Proth. Wenn ein geeignetes ${\displaystyle n}$ gefunden wurde, hat man eine Prothsche Primzahl gefunden und gleichzeitig vor allem bewiesen, dass ${\displaystyle k}$ keine Sierpiński-Zahl ist. Wenn von allen 17 obigen Zahlen ein ${\displaystyle n}$ gefunden werden konnte, ist der Beweis erbracht, dass 78557 tatsächlich die kleinste Sierpiński-Zahl ist.

Natürlich kann auch sein, dass es für eine oder sogar für mehrere der obigen Zahlen ${\displaystyle k}$ tatsächlich kein ${\displaystyle n}$ existiert, sodass ${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$ eine Primzahl ist. In diesem Fall würde die Suche nach einer Primzahl natürlich unendlich lang dauern, ohne Aussicht auf Erfolg. Es gibt aber Gründe dafür, dass die Behauptung „78557 ist die kleinste Sierpiński-Zahl“ richtig ist.[4]

„Seventeen or Bust“ hat mittlerweile für 12 der 17 übriggebliebenen Zahlen ${\displaystyle k}$ mindestens ein ${\displaystyle n}$ gefunden, das zu einer Primzahl führt.[5][6][7]

Die durch das Projekt „Seventeen or Bust“ gefundene Primzahl ${\displaystyle 10223\cdot 2^{31172165}+1}$ ist die momentan größte bekannte Primzahl, die keine Mersenne-Primzahl ist[8] (Stand: 14. November 2016). Die sechs Primzahlen der oberen Liste mit über einer Million Stellen:

${\displaystyle 10223\cdot 2^{31172165}+1,19249\cdot 2^{13018586}+1,27653\cdot 2^{9167433}+1,28433\cdot 2^{7830457}+1,33661\cdot 2^{7031232}+1\ }$ und ${\displaystyle 5359\cdot 2^{5054502}+1}$

nennt man auch Colbert-Zahlen[9][10] (dies ist auch gleichzeitig die Definition der Colbert-Zahlen: Primzahlen mit über einer Million Stellen, die bei der Suche mit „Seventeen or Bust“ gefunden werden). Sie wurden nach dem US-amerikanischen Komiker und Satiriker Stephen T. Colbert benannt.

Für den endgültigen Beweis, dass 78557 die kleinste Sierpiński-Zahl ist, muss noch gezeigt werden, dass für die folgenden ${\displaystyle k}$ mindestens ein ${\displaystyle n}$ existiert, sodass ${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$ eine Primzahl ist:[11]

${\displaystyle k=21181,22699,24737,55459,67607}$

Es wird davon ausgegangen, dass irgendwann tatsächlich zu jedem der obigen fünf ${\displaystyle k}$ noch mindestens ein ${\displaystyle n}$ gefunden wird. Die so gefundenen Primzahlen werden über eine Million Stellen haben und somit ebenfalls Colbert-Zahlen genannt werden. Man kann auch davon ausgehen, dass die größte der so gefundenen Primzahlen größer ist als alle momentan bekannten Primzahlen.[10]

Die möglicherweise kleinste Sierpiński-Zahl ${\displaystyle k=78557=17\cdot 4621}$ ist eine zusammengesetzte Zahl.

1976 bewies Nathan Mendelsohn (1917–2006), dass die Primzahl ${\displaystyle k=271129}$ ebenfalls eine Sierpiński-Zahl ist.[12] Dies ist die momentan zweitkleinste bekannte Sierpiński-Zahl und die kleinste bekannte prime Sierpiński-Zahl.

Das Prime-Sierpiński-Problem beschäftigt sich damit, ob ${\displaystyle k=271129}$ tatsächlich die kleinste prime Sierpiński-Zahl ist.[13] Um dies zu überprüfen, müssen die folgenden 9 Primzahlen überprüft werden (wobei die ersten zwei Zahlen schon in obigem Problem auftauchen) (Stand: 31. Dezember 2019):

k = 22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 222113, 225931, 237019

Das Internet-Projekt „Prime Sierpinski Project“ beschäftigt sich seit dem 1. Januar 2004 mit dieser Frage.[14]

Das erweiterte Sierpiński-Problem beschäftigt sich damit, ob ${\displaystyle k=271129}$ tatsächlich die zweitkleinste Sierpiński-Zahl ist.[13][15] Um dies zu überprüfen, müssen neben den 9 oben genannten Primzahlen noch zusätzlich die folgenden 11 zusammengesetzten Zahlen überprüft werden (wobei die ersten drei Zahlen schon im ursprünglichen Problem auftauchen) (Stand: 7. März 2022):

k = 21181, 24737, 55459, 91549, 131179, 163187, 200749, 209611, 227723, 229673, 238411

• PrimeGrid – Internet-Suche nach Rekord-Primzahlen

• Chris K. Caldwell: Riesel Sieve Project. Prime Pages, abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, ein verwandtes Internet-Projekt für Zahlen der Form k·2ⁿ−1).
• Louie Helm & David Norris: Seventeen or Bust. Abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, Startseite des Projekts).

1. Louie Helm, David Norris: Seventeen or Bust. Abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, Startseite des Projekts).
2. Michael Goetz: Re: Server down? In: free-dc.org. Abgerufen am 4. August 2023 (englisch).
3. Sierpinski problem. Mersennewiki, abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, Beweis, dass k=78557 eine Sierpinski-Zahl ist).
4. Chris Caldwell: Sierpinski number. The Prime Glossary, abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, Gründe dafür, dass k=78557 die kleinste Sierpinski-Zahl ist).
5. Louie Helm & David Norris: Seventeen or Bust. Archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 2. Februar 2013; abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, aktueller Status des Projekts).
6. Weisstein, Eric W.: Sierpiński Number of the Second Kind. Wolfram MathWorld, abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, aktueller Status des Projekts).
7. Chris K. Caldwell: Seventeen or Bust. Prime Pages, abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, aktueller Status des Projekts).
8. Chris K. Caldwell: Largest Known Primes. Prime Pages, abgerufen am 14. November 2016 (englisch, die 20 größten bekannten Primzahlen).
9. Helm, Louis: Colbert Number. Wolfram MathWorld, abgerufen am 14. November 2016 (englisch).
10. Chris K. Caldwell: Colbert number. Prime Pages, abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch).
11. James Grime, Brady Haran: 78557 and Proth Primes. In: YouTube video. Numberphile, 13. November 2017, abgerufen am 14. November 2017 (englisch).
12. Nathan S. Mendelsohn: The equation φ(x) = k. Math. Mag. 49, 1976, S. 37–39.
13. Wilfrid Keller: The Sierpiński Problem: Definition and Status. Prothsearch, abgerufen am 31. Dezember 2019 (englisch, erweitertes Sierpiński-Problem).
14. Prime Sierpinski Project. rechenkraft.net, abgerufen am 31. Dezember 2019.
15. Rytis Slatkevičius: Welcome to the Extended Sierpinski Problem. PrimeGrid, abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, erweitertes Sierpiński-Problem).