Satz von Quillen-Suslin

Es sei ${\displaystyle R}$ ein Hauptidealring. Dann ist jeder endlich erzeugte, projektive ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$-Modul frei.[1][2]

Hauptidealring bedeutet hier, dass der Ring kommutativ, nullteilerfrei und jedes Ideal von einem Element erzeugt ist. ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ bezeichnet den Ring der Polynome in ${\displaystyle n}$ Unbestimmten mit Koeffizienten aus ${\displaystyle R}$. Das umfasst damit die wichtigen Fälle des Polynomrings über einem Körper und über dem Ring der ganzen Zahlen.

Auf die Kommutativität des Ringes ${\displaystyle R}$ kann nicht verzichtet werden, denn M. Ojanguren und R. Sridharan haben für nicht-kommutative Divisionsringe ${\displaystyle D}$ gezeigt, dass ${\displaystyle D[X_{1},X_{2}]}$ ein nicht-freies, projektives Ideal ${\displaystyle P}$ enthält, so dass ${\displaystyle D[X_{1},X_{2}]\oplus P\cong D[X_{1},X_{2}]\oplus D[X_{1},X_{2}]}$.[3]

Das unten angegebene Lehrbuch Serre’s Problem on Projective Modules von Tsit Yuen Lam bietet eine umfassende Darstellung des Themenkreises um das Serre-Problem. Jean-Pierre Serre schrieb in einem 1955 erschienenen Artikel, dass es nicht bekannt sei, ob es für einen Körper ${\displaystyle K}$ endlich-erzeugte, projektive, nicht-freie ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$-Moduln gäbe.[4] Diese Frage ist dann als Serre-Vermutung oder, in Abgrenzung zu einer anderen Serre-Vermutung, als Serre-Problem bekannt geworden. Es ist dann 1976 unabhängig von Daniel Quillen[5] und von Andrei Suslin[6] gelöst worden und nun als Satz von Quillen-Suslin bekannt.[7] Für dies und weitere wesentliche Beiträge zur Ringtheorie, insbesondere zur algebraischen K-Theorie, hat Quillen 1978 die Fields-Medaille erhalten.

1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Satz IV.3.15
2. Joseph J. Rotman: An Introduction to Homological Algebra, Academic Press 1979, ISBN 0-12-599250-5, Theorem 4.36
3. M. Ojanguren, R. Sridharan: Cancellation of Azumaya algebras, Journal of Algebra (1971), Band 18, Seiten 501–505, Proposition 1
4. Jean-Pierre Serre: Faisceaux algébriques cohérents, Annals of Mathematics (1955), Second Series, Band 61 (2), Seiten 197–278
5. Daniel Quillen: Projective modules over polynomial rings, Inventiones Mathematicae (1976), Band 36 (1), Seiten 167–171
6. Andrei A. Suslin: Проективные модули над кольцами многочленов свободны [Projektive Moduln über Polynomringen sind frei], Doklady Akademii Nauk SSSR (1976), Band 229 (5), Seiten 1063–1066
7. Tsit Yuen Lam: Serre’s Problem on Projective Modules, Springer-Verlag (2006), ISBN 3-540-23317-2, Introduction