Sensitive Abhängigkeit

${\displaystyle f}$ hat sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten nach Li und Yorke, wenn eine überabzählbare Teilmenge ${\displaystyle S\subseteq I}$ existiert, so dass für alle ${\displaystyle x,y\in S}$ mit ${\displaystyle x\neq y}$ gilt:

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|f^{n}(x)-f^{n}(y)|>0}$

und

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }|f^{n}(x)-f^{n}(y)|=0}$

${\displaystyle f}$ hat sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten nach Guckenheimer, wenn eine Teilmenge ${\displaystyle S\subseteq I}$ von positivem Lebesgue-Maß existiert und ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$ so dass für alle ${\displaystyle x\in S}$ und jede Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ ein ${\displaystyle y\in U\cap S}$ und ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ existieren mit

${\displaystyle |f^{n}(x)-f^{n}(y)|>\varepsilon }$

${\displaystyle f}$ hat sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten nach Ruelle, wenn ein ergodisches Maß ${\displaystyle \mu }$ existiert, so dass

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\ln \left|{\frac {df^{n}}{dx}}(x)\right|=\lambda _{f}>0}$

für ${\displaystyle \mu }$--fast alle ${\displaystyle x\in I}$ erfüllt ist. ${\displaystyle \lambda _{f}}$ ist der Ljapunow-Exponent von ${\displaystyle f}$.