Seminumerischer Algorithmus

• System: Aus mehreren Teilen zusammengesetztes Ganzes.
• Systemtheorie: Analyse von Strukturen, Dynamik und Funktionen. Abstrakte mathematisch Modelle mit Ein- und Ausgangssignalen beschreiben in der Systemtheorie das Systemverhalten verschiedenartigster dynamischer Systeme bei gegebenen Anfangszuständen völlig unabhängig von technologischen Details.[1]
• Systemeigenschaften: Eigenschaften, die für das System charakteristisch sind.
• Systemstruktur: Gesamtheit der Elemente eines Systems.
• Dynamisches System: Es ist eine abgegrenzte zeitabhängige Funktionseinheit, die durch ihre Signaleingänge und Signalausgänge in einer Wechselwirkung mit der Umwelt steht. Die Wirkung des Eingangssignals mit dem Systemverhalten und dem Systemzustand kann sich auf das Systemausgangssignal überlagern.
• Übertragungssystem: System mit mindestens einem oder mehreren Signaleingängen und einem oder mehreren Signalausgängen. Es kann sich zeitabhängig oder zeitunabhängig verhalten.
• Übertragungsfunktion: Laplace-transformierte lineare Differenzialgleichung, deren Ableitungen durch die unabhängige Variable s ersetzt wird.
• Statisches System (signaltechnisch): Jedes Ausgangssignal ist ohne Zeitverhalten unmittelbar vom Eingangssignal abhängig.

Diskrete Wertefolgen eines PT1-Gliedes der Methode Rückwärts-Differenzenquotient

Differenzengleichungen als einfachstes Verfahren der Numerik werden zur numerischen Berechnung in vielen wissenschaftlichen Disziplinen – wie Wirtschaft, Medizin, Technik, Elektrotechnik, Regelungstechnik, Kybernetik, Informatik, Akustik und andere – eingesetzt. Sie gehören zu den Einschrittverfahren.

Eine Differenzengleichung steht in enger Beziehung zu einer DGL. Die Differenzengleichung einer Verzögerungsfunktion einfacher und höherer Ordnung entsteht z. B., wenn der Differenzialquotient einer zu berechnenden DGL durch einen Differenzenquotient ausgetauscht wird. Durch diesen Vorgang entsteht automatisch das rekursive Verhalten der Differenzengleichung, bei der sich je nach Ordnung ${\displaystyle n}$ jedes aktuelle Folgeglied ${\displaystyle y_{k}}$ sich auf ein oder mehrere zurückliegende Folgeglieder bezieht.

Eine Differenzengleichungen höherer Ordnung verknüpft die Werte der Ausgangsfolgen entsprechend der Ordnung an zwei, drei oder mehreren zurückliegenden Zeitpunkten:

Rekursion: ${\displaystyle y_{k}=f(y_{k-1},y_{k-2},y_{k-3},\dots )}$.

Die Zahl der Wertefolgen bestimmt die Schrittweite ${\displaystyle h}$ und die Endgröße der unabhängigen Variable bei zeitabhängigen Systemen ${\displaystyle t_{max}}$.

${\displaystyle {\text{Anzahl der Folgen}}={\frac {t_{\text{max}}}{h}}+1.\qquad }$ ${\displaystyle t_{\text{max}}}$ ist der Darstellungszeitraum, ${\displaystyle h=}$ Schrittweite.

Neben dem einfachen numerischen Verfahren mit Differenzengleichungen (Einschrittverfahren) stehen auch andere aufwendigere Verfahren (z. B. Mehrschrittverfahren) zur besseren Approximation an den analytischen Verlauf einer Funktion zur Verfügung. Dazu gehören z. B. das Trapezflächenverfahrens (Heun-Verfahren), Runge-Kutta-Verfahren, das Mehrschrittverfahren (Adams-Bashforth-Verfahren) und andere. Grund der aufwendigen Approximationsverfahren ist die erzielbare höhere Genauigkeit und damit erhebliche Reduzierung der Anzahl der Folgeglieder.[2]

• Bei in Reihe liegenden Übertragungssystemen ist die Ausgangsgröße ${\displaystyle y_{k}}$ die Eingangsgröße ${\displaystyle u_{k}}$ des nachfolgenden Systems. Es handelt sich dabei um eine Multiplikation der Einzelsysteme.
• Bei parallelwirkenden Übertragungssystemen werden die Ausgangsgrößen ${\displaystyle y_{k}}$ gleicher Folgeglieder addiert.[3]

• Die numerische Berechnung dynamischer und statischer Systeme kann mit jeder Programmiersprache durchgeführt werden.

Dynamische Systeme werden mit DGL-en beschrieben. Werden die Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt, entsteht eine Differenzengleichung, die leicht gelöst werden kann.

Unterschieden wird die Entstehungsweise der Differenzengleichungen durch den Vorwärts- und Rückwärts-Differenzenquotienten, die beide je nach Anwendung Vorteile haben. Differenzengleichungen nach der Rückwärtsdifferenz berechnen Folgewerte um eine Folge früher.

Die Differenzengleichungen der Methode Rückwärts-Differenz berechnen die Modelle der dynamischen Übertragungsglieder bei Reihenstruktur und dem Anfangswert ${\displaystyle y(0)}$ immer je nach Größe der Schrittweite ${\displaystyle h}$ immer einen kleinen Wert ${\displaystyle y(0)>0}$, der bei kleiner Schrittweite vernachlässigbar ist.

Symbol eines Verzögerungsgliedes 1. O.
Sprungantwort des PT1-Gliedes

Die Differenzengleichungen der Methode Vorwärts-Differenz berechnen die Modelle der dynamischen Übertragungsglieder bei Reihenstruktur und dem Anfangswert ${\displaystyle y(0)}$ immer ${\displaystyle y(k=0)=0}$. Dies führt z. B. bei 4 hintereinander geschalteten Verzögerungsgliedern dazu, dass bei 4 Systemen das 4. System nach 4 Folgen immer noch für ${\displaystyle y(k=4)}$ einen Wert von ${\displaystyle y(0)=0}$ aufweist, was nachteilig ist.

Die Folgebezeichnungen der Systemausgangsgrößen ${\displaystyle y_{k}}$, ${\displaystyle y_{k+1}}$, ${\displaystyle y_{k-1}}$ sind relative Begriffe der Nummerierung. Sie haben erst eine absolute Bedeutung, wenn die Folge des ersten Folgegliedes ${\displaystyle y_{k=0}}$ der Folge ${\displaystyle k=0=k_{0}}$ der Differenzengleichung mit der Ausgangsgröße ${\displaystyle y_{k}}$ zugeordnet wird.

Differenzengleichung nach der Vorwärts-Differenz:

Für ${\displaystyle k=0}$ ist der 1. Folgewert ein Anfangswert. Die nächste Folge ${\displaystyle y_{k+1}}$ ist der 1. berechnete Wert der Ausgangsgröße ${\displaystyle y_{k=1}}$.

Differenzengleichung nach der Rückwärts-Differenz:

Für ${\displaystyle k=0}$ berechnen die Differenzengleichungen für ${\displaystyle y_{0}}$ immer je nach Größe der Schrittweite ${\displaystyle h}$ einen kleinen Wert ${\displaystyle y_{0}>0}$.

Dynamische Systeme werden mit DGL-en oder Übertragungsfunktionen exakt beschrieben. Die analytische Lösung einer DGL bezieht sich auf eine unendlich hohe Auflösung, die mit einer numerischen Lösung nicht erreicht werden kann.

Die numerische Lösung bei dynamischen Systemen ist immer eine Annäherung an die analytische Funktion. Mit kleiner werdender Schrittweite ${\displaystyle h}$ steigt linear die Genauigkeit der berechneten Folgeglieder ${\displaystyle y_{k}(x_{k})}$ und damit die Zahl der Folgeglieder. Zur Erzielung einer großen Genauigkeit der Folgeglieder ${\displaystyle y_{k}(x_{k})}$ kann die Zahl der Folgeglieder nicht beliebig hoch betrieben werden, weil sich je nach Rechengenauigkeit des Computers unvermeidbare Rundungsfehler zu jedem Folgeglied aufaddieren können.

Dynamische Übertragungssysteme als Übertragungsfunktionen G(s) 1. und höherer Ordnung lassen sich mit sogenannten Laplace-Transformationstafeln lösen. Bereits die Lösung von Übertragungsfunktionen 2. Ordnung erfordern gute Kenntnisse mit e-Funktionen und trigonometrischen Funktionen.

Das rekursive Verhalten eines dynamischen Systems bestimmter Ordnung, d. h. der Bezug einer zu berechnenden Wertefolge auf eine zurückliegende Folge, ist nicht für alle dynamischen Systeme gleich. Die Folgen unterscheiden sich bei Übertragungssystemen wie folgt:

• Bei der arithmetischen Folge wächst oder fällt jedes Folgeglied um einen festen Betrag. (Beispiel: Sparschwein)
• Bei der exponentiellen Folge wächst oder fällt jedes Folgeglied um einen relativen Anteil. (Beispiel: Verzögerungssysteme, Zinseszins)

Für alle Formen von dynamischen Verzögerungssystemen beliebiger Ordnung gilt die diskrete exponentielle Folge. Nur das Integrationsglied (I-Glied) 1. O. bildet eine Ausnahme. Die Berechnung dieser Gruppe der Verzögerungssysteme bedeutet immer nur eine Annäherung an die analytische Funktion.

Übertragungssysteme, die nicht mit DGL-en beschrieben werden, aber zeitabhängig sind, wie die bekannten Aufgabenstellungen, z. B. „Zinseszins“, „Bevölkerungswachstum“, „Flüssigkeitszufluss -Abfluss in Behältern“ und andere. Hierbei gilt eine feste Auflösung der Zeit wie [s], [Std], [Jahre], deren Anzahl der Zeitfolgen durch die Aufgabenstellung festgelegt ist. Die Anzahl der Zeitfolgen bestimmt die Schrittweite ${\displaystyle h}$. Diese Wertefolgen der Ausgangsgröße verhalten sich exponentiell.

Da zwischen diesen Wertefolgen keine höheren Auflösungen existieren, sind diese Berechnungen exakt genau.

Typische exponentielle Form der Differenzengleichung:

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}\pm y_{k}\cdot C\cdot h.\qquad y_{k=0}={\text{Anfangswert}}\ y_{0},\quad C={\text{Konstante}}\ \neq \ 0,\quad h={\text{Schrittweite}}\ z.B.\ {\text{Laufzeit [Jahre]}}}$

Das Sammeln von Ereignissen entspricht einer arithmetischen Folge, z. B. das Sparschwein.

Das zu den verzögernden dynamischen Übertragungsgliedern gehörende Integrationsglied (I-Glied) verhält sich proportional der diskreten Zeitfolge. Dieses Systemverhalten entspricht der arithmetischen Folge (keine Rekursionsgleichung). Siehe nachfolgendes Berechnungsbeispiel der Bildung einer Differenzengleichung des I-Gliedes.

Typische arithmetische Form der Differenzengleichung:

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}\pm C\cdot h.\qquad C={\text{Konstante}}\ \neq \ 0,\quad h={\text{Schrittweite}}}$

Symbol eines Integrationsgliedes 1. O.
Zeitverhalten für einen Eingangssprung

Übertragungsfunktion des I-Gliedes:

${\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)={\frac {K_{I}}{s}}}$

Differenzialgleichung des I-Gliedes:
Mittels der inversen Laplace-Transformation entsteht die DGL aus der Übertragungsfunktion.[4]

${\displaystyle y'(t)=K_{I}\cdot u(t).\qquad K_{I}={\frac {1}{T_{I}}}}$.

Der Vorwärts-Differenzenquotient lautet:

${\displaystyle y'(t)={\frac {dy}{dt}}\approx {\frac {\Delta y}{\Delta t}}:={\frac {y_{k+1}-y_{k}}{h}}.\qquad {\text{Schrittweite}}\ h=\Delta t}$

Die Differenzengleichung nach dem Vorwärts-Differenzenquotienten lautet:

${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{h}}=K_{I}\cdot u_{k}}$

Die Differenzengleichung wird nach ${\displaystyle y_{k+1}}$ freigestellt: [5]

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+u_{k}\cdot K_{I}\cdot h}$

Das Verhalten des I-Gliedes für einen Eingangssprung über alle Folgen ist linear und nicht rekursiv. Es handelt sich hier um eine Werte-Zunahme von arithmetischen Folgen, d. h. die Differenz zweier aufeinander liegenden Folgen ist immer konstant.

Sprungantwort eines PT2-Schwingungsgliedes nach der Regelungsnormalform

Dynamisches System Differenzialgleichung	Begrenzungseffekte Signalsprünge	Nichtlineares System Tabelle	Systemtotzeit (Lineares System)
Beispiel: DGL 1. O. des PT1-Gliedes ${\displaystyle y'(t)={\frac {K_{PT1}\cdot u(t)-y(t)}{T_{1}}}}$	IF-THEN-ELSE- Anweisung	Diskrete Zahlenwerte	=INDEX-Anweisung der Tabellenkalkulation =INDEX(D1:D1000;1000-Tt / h)
Differenzengleichung der Vorw.-Differenz ${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+[K_{PT1}\cdot u_{k}-y_{k}]\cdot {\frac {h}{T_{1}}}}$	Beispiel: Sprung, Rücksprung Anweisung: =WENN(A1000<8;1;0). :=WENN A1000<8; DANN 1; SONST 0	Beispiel: Wertefolgen: Zahlen 0;0;0;2;5;8;11;...	Beispiel Modell: Nachbildung PT1-Glied 5. O. Zeitkonstante ${\displaystyle T=T_{t}\ /\ 5}$
Differenzengleichung der Rückw.-Differenz ${\displaystyle y_{k}=y_{k-1}+[K_{PT1}\cdot u_{k}-y_{k-1}]\cdot {\frac {h}{T_{1}+h}}}$			Beispiel Modell: Allpassglied 3. O.

• Gewöhnlich bedeutet, die gesuchte Funktion ${\displaystyle y(x)}$ hängt nur von einer Variablen ${\displaystyle x}$ ab. Die DGL enthält mindestens eine Ableitung ${\displaystyle y^{(n)}}$ von der gesuchten Funktion.

• Lineare Differenzialgleichung: y(x) und Ableitungen davon dürfen nur in der 1. Potenz vorkommen und keine Winkelfunktionen enthalten.

• Nichtlineare Differenzialgleichung: Die gesuchte Funktion ${\displaystyle y(x)}$ und deren Ableitungen enthalten Potenzen höherer Ordnung oder Winkelfunktionen.

Diese DGL-en können je nach Ordnung leicht über Differenzengleichungen numerisch gelöst werden.

Eine große Vereinfachung der Berechnung der Systeme ergibt sich dann, wenn die Lösung der Differentialgleichung nicht im Zeitbereich, sondern im Bildbereich (s-Bereich) mittels Laplace-Transformation vorgenommen wird. Die Systemberechnung bezieht sich dann auf einfache algebraische Operationen. Voraussetzung ist, dass es sich bei dem System um ein LZI-System handelt und die Anfangsbedingungen Null sind.[6]

Vorgegebene Übertragungsfunktionen können nach der inversen Laplace-Transformation in den ursprünglichen Zustand der DGL-en zurückgesetzt werden. Für die numerische Berechnung dynamischer Systeme werden Systembeschreibungen in Form von DGL-en benötigt.

Eine Besonderheit ist das Totzeitsystem, dass nicht durch eine DGL beschrieben werden kann. Die numerische Berechnung bezieht sich auf eine Verschiebung der diskreten Folgen gegenüber einer Tabellenspalte z. B. der Systemeingangsgröße ${\displaystyle u_{k=0}}$ um ${\displaystyle T_{t}\ /\ h}$ Wertefolgen. Die INDEX-Anweisung der Tabellenkalkulation macht das automatisch und bezieht sich auf die zurückliegende Spalte der Eingangsgröße, wobei oberhalb der Spaltennummerierung z. B. C1000 keine alphanumerischen Einträge bis nahe an Spalte C0 stehen dürfen.

Totzeit-Modelle durch Annäherung mit PT1-Gliedern z. B. 5. Ordnung oder Allpassglieder 3. Ordnung sind möglich.

${\displaystyle \to }$ siehe auch Artikel Totzeit (Regelungstechnik)#Annäherung an das Verhalten eines Totzeitgliedes durch PTn-Glieder als Ersatztotzeit

Zahlreiche Anwendungsmodelle sind bekannt, deren Ausgangsgrößen sich auf die unabhängige Variable „Zeit“ beziehen, deren Zeitfolgen durch die Aufgabenstellung festgelegt ist. Die Dimension der Zeitachse hat entweder die Auflösung [s], [Std], [Jahre]. Die bedeutet, dass z. B. die Kapitalanlage von einem Anfangswert aus sich auf die Anzahl von Jahren bezieht. Diese Anzahl entspricht der Schrittweite h.

Darunter fallen die bekannten Aufgabenstellungen wie „Zinseszins“, „Bevölkerungswachstum“, „Flüssigkeitszufluss -Abfluss in Behältern“ und andere.

Diese numerischen Berechnungen sind exakt genau und lassen sich z. B. bei Kapitalanlagen mit der Gleichung der Zinseszinsberechnung leicht überprüfen.

Die numerische Standard-Lösung solcher Aufgaben lässt sich nach Euler-Vorwärts wie folgt berechnen. Bei der exponentiellen Folge wächst oder fällt jedes Folgeglied um einen relativen Anteil. (Beispiel: Zinseszins)

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}\pm C\cdot y_{k}\cdot h=(1\pm C\cdot h)\cdot y_{k}}$

Für einen derartigen Typ Differenzengleichung lässt sich der Wert einer beliebigen Folge ${\displaystyle k}$ direkt algebraisch aus dem Anfangswert ${\displaystyle y_{0}}$ berechnen.

Die zugehörige Gleichung als Folge mit dem Verlauf einer Exponentialfunktion mit ${\displaystyle k}$ im Exponenten lautet:

${\displaystyle y_{k}=(1\pm C\cdot h)^{k}\cdot y_{0}}$

Diagramm des Eingangs-/Ausgangsverhaltens eines Dreipunktreglers mit Hysterese und Totzone.

Dabei ist ${\displaystyle C}$ eine Konstante und ${\displaystyle h}$ die Schrittweite.

Die Anwendungen numerischer Berechnungen mit z. B.: [WENN-, DANN-, SONST]-Anweisungen haben kein Zeitverhalten und können deshalb nicht mit DGL-en berechnet werden.

Bei Verbindung der Anweisungen mit dynamischen Systemen muss die numerische Zuordnung der Folgen beider Systeme gegeben sein.

Das mathematische Modell eines statischen 3-Punktreglers mit Hysterese-Bereich und Totzone wurde numerisch mit 3 verschachtelten „WENN-, DANN-, SONST-Anweisungen“ erstellt. Der Hysteresebereich machte die Funktion einer positiven Rückführung erforderlich. Dieser Regler kann ohne Probleme in Verbindung mit einem numerisch berechneten Modell der Regelstrecke zu einem Regelkreis eingebunden werden. Dynamischen Systeme in der Regelstrecke bedeuten für das Verhalten des Regelkreises eine Näherungslösung.

Der Regler reagiert laut dem beigefügten Diagramm mit der Eingangsgröße ${\displaystyle u_{k}}$ = 0,1 bis −0,1 bei der gewählten Schrittweite z. B. ${\displaystyle h=0{,}0005\ [s]}$ in 400 Folgen.

Diese Anwendung mit logischen Anweisungen innerhalb von diskreten Folgen eines Gesamtsystems sind in der Berechnung exakt genau.

In Verbindung mit dynamischen Übertragungssystemen sind die numerischen Gesamtsystem-Berechnungen Annäherungen an die analytische Funktion des Gesamtsystems.