Semidirekte Summe

Es seien ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ Lie-Algebren, ${\displaystyle \pi$ :{\mathfrak {a}}\rightarrow {\rm {End}}({\mathfrak {b}})} sei eine Darstellung, das heißt:

• ${\displaystyle \pi }$ ist linear, und für alle ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathfrak {a}}}$ gilt ${\displaystyle \pi ([a_{1},a_{2}])\,=\,\pi (a_{1})\pi (a_{2})-\pi (a_{2})\pi (a_{1})}$.
• ${\displaystyle \pi (a)}$ ist für jedes ${\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}$ eine Derivation auf ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$.

Dann gibt es auf der direkten Summe ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {b}}}$ der Vektorräume genau eine Klammer ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$, so dass Folgendes gilt:

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {b}}}$ ist mit ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ eine Lie-Algebra.
• Die Einschränkung der Klammer auf ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ stimmt mit den dort gegebenen Klammern überein.
• Für alle ${\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle b\in {\mathfrak {b}}}$ gilt ${\displaystyle [a,b]\,=\,\pi (a)b}$.

Dabei werden ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ als Unterräume der direkten Summe aufgefasst.

Die Klammer auf ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {b}}}$ lautet

${\displaystyle [(a_{1},b_{1})\,,\,(a_{2},b_{2})]:=([a_{1},a_{2}]\,,\,[b_{1},b_{2}]+\pi (a_{1})b_{2}-\pi (a_{2})b_{1}),\quad a_{1},a_{2}\in {\mathfrak {a}},\,b_{1},b_{2}\in {\mathfrak {b}}}$.

Man rechnet nach, dass durch diese Definition eine Lie-Algebra gegeben ist. Diese wird mit ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\ltimes _{\pi }{\mathfrak {b}}}$ bezeichnet und heißt die semidirekte Summe oder auch das semidirekte Produkt aus ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$. Wenn es bezüglich der Darstellung ${\displaystyle \pi }$ keine Missverständnisse geben kann, so lässt man sie weg und schreibt einfach ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}}}$.[1][2]

• In obiger Konstruktion ist ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ eine Lie-Unteralgebra der semidirekten Summe und ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ sogar ein Ideal, das heißt ${\displaystyle [{\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]\subset {\mathfrak {b}}}$.
• Ist ${\displaystyle \pi =0}$, so liegt die direkte Summe der Lie-Algebren vor.
• Seien ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine Lie-Algebra über dem Körper ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle d}$ eine Derivation auf ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Dann ist ${\displaystyle Kd\subset {\rm {End}}({\mathfrak {g}})}$ eine Darstellung, und man kann ${\displaystyle Kd\ltimes {\mathfrak {g}}}$ bilden. Dies nennt man auch die Adjunktion der Derivation ${\displaystyle d}$.

Ist ${\displaystyle \iota$ :{\mathfrak {b}}\rightarrow {\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}},b\mapsto (0,b)} und ${\displaystyle q:{\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}}\rightarrow {\mathfrak {a}},(a,b)\mapsto a}$, so erhält man eine kurze exakte Sequenz aus Lie-Algebren und Lie-Algebren-Homomorphismen

${\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {b}}\,{\xrightarrow {\iota }}\,{\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}}\,{\xrightarrow {q}}{\mathfrak {a}}\rightarrow 0}$.

Allgemein nennt man kurze exakte Sequenzen

${\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {b}}\rightarrow {\mathfrak {c}}{\xrightarrow {q}}{\mathfrak {a}}\rightarrow 0}$

bzw. die darin vorkommende Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ eine Erweiterung von ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ nach ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ (manchmal findet man auch die umgekehrte Sprechweise) und eine solche Erweiterung heißt zerfallend, wenn es einen Lie-Algebren-Homomorphismus ${\displaystyle \psi$ :{\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {c}}} gibt mit ${\displaystyle q\circ \psi =\mathrm {id} _{\mathfrak {a}}}$. Demnach ist ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}}}$ eine solche zerfallende Erweiterung, denn der Homomorphismus ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}},a\mapsto (a,0)}$ leistet das Verlangte.

Schließlich heißen zwei Erweiterungen ${\displaystyle {\mathfrak {c}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {c}}_{2}}$ äquivalent, wenn es einen Isomorphismus ${\displaystyle \varphi$ :{\mathfrak {c}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {c}}_{2}} gibt, der das Diagramm

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}0\rightarrow &{\mathfrak {b}}&\rightarrow &{\mathfrak {c}}_{1}&\rightarrow &{\mathfrak {a}}&\rightarrow 0\\&\parallel &&\downarrow \gamma &&\parallel \\0\rightarrow &{\mathfrak {b}}&\rightarrow &{\mathfrak {c}}_{2}&\rightarrow &{\mathfrak {a}}&\rightarrow 0\\\end{array}}}$

kommutativ macht. Mit Hilfe der semidirekten Summe kann man zerfallende Erweiterungen wie folgt charakterisieren[3]:

Eine Erweiterung

${\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {b}}\rightarrow {\mathfrak {c}}\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow 0}$

von Lie-Algebren ist genau dann zerfallend, wenn sie äquivalent zur semidirekten Summe

${\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {b}}\,{\xrightarrow {\iota }}\,{\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}}\,{\xrightarrow {q}}{\mathfrak {a}}\rightarrow 0}$

ist.

• Affine Lie-Algebra
• Virasoro-Algebra

1. Anthony W. Knapp: Lie Groups Beyond an Introduction. Birkhäuser, 2002, ISBN 0817642595, Kap. I.4: Semidirect products of Lie-Algebras
2. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.1.13
3. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.4.4