Dualer Kegel

Gegeben sei ein Hilbertraum ${\displaystyle V}$ (also ein vollständiger Vektorraum mit Skalarprodukt ${\displaystyle \langle .;.\rangle }$ ) und ein Kegel ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ in diesem Vektorraum. Dann heißt die dem Kegel zugeordnete Menge

${\displaystyle \operatorname {dual} ({\mathcal {K}})=\{y\in V|\forall x\in {\mathcal {K}}\colon \langle y;x\rangle \geq 0\}}$

der duale Kegel von ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$. Anschaulich sind dies dann alle Vektoren, die mit allen Elementen des Kegels einen Winkel von höchstens 90° einschließen. Gelegentlich wird der duale Kegel auch mit ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{*}}$ oder ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{D}}$ bezeichnet.

Ist ${\displaystyle V^{*}}$ der Dualraum von ${\displaystyle V}$ und ist ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ein Kegel in ${\displaystyle V}$, dann ist der duale Kegel definiert durch

${\displaystyle \operatorname {dual} ({\mathcal {K}}):=\{y^{*}\in V^{*}|\forall x\in {\mathcal {K}}\colon \langle y^{*};x\rangle \geq 0\}}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \langle .;.\rangle }$ die duale Paarung, das heißt, es gilt ${\displaystyle \langle y^{*};x\rangle$ :=y^{*}(x)} .

Teilweise wird schon in unvollständigen Prähilberträumen die erste Form der Definition verwendet, um die entstehenden Mengen als Kegel im Ursprungsraum ${\displaystyle V}$ auffassen zu können.

Analog lässt sich der Begriff des polaren Kegels formulieren:

${\displaystyle \operatorname {pol} ({\mathcal {K}}):=\{y^{*}\in V^{*}|\forall x\in {\mathcal {K}}\colon \langle y^{*};x\rangle \leq 0\}}$

In einem Hilbertraum gilt dann:

${\displaystyle \operatorname {pol} ({\mathcal {K}})=\{y\in V|\forall x\in {\mathcal {K}}\colon \langle y;x\rangle \leq 0\}}$

Das ist die Menge aller Vektoren, die mit allen Kegelelementen einen Winkel von mindestens 90° haben und deshalb gilt ${\displaystyle {\mathcal {K}}\cap \operatorname {pol} ({\mathcal {K}})=\{0_{V}\}}$

Für beide Versionen der Definition ergibt sich die Beziehung ${\displaystyle \operatorname {pol} ({\mathcal {K}})=-\operatorname {dual} ({\mathcal {K}})}$ im jeweiligen Vektorraum. Dies lässt sich auch als Definition nutzen.

Ein Kegel heißt selbstdual, wenn ${\displaystyle \operatorname {dual} ({\mathcal {K}})={\mathcal {K}}}$ gilt.

Gelegentlich wird der duale Kegel wie der polare Kegel definiert und umgekehrt, hier ist die Literatur nicht eindeutig. Es gilt also die Richtung der Ungleichung zu beachten.